modele matematyczne energoelektronicznych przekształtników ...

Modele matematyczne energoelektronicznych przekształtników wielopoziomowych. Analiza ... 63
W praktyce aproksymacja funkcji f (x) za pomocą ciągu φ n (x) polega na
dokonaniu sumowania skończonej liczby N wyrazów ciągu. W zastosowaniach
energoelektronicznych naturalnym dążeniem projektantów jest osiągnięcie możliwie
najmniejszej liczby N. Przyjęcie liczby N określa kąt α – podstawowy parametr
przekształcenia. Dla założonej skończonej liczby N przebieg f N (x) aproksymujący
funkcję f (x) składa się z sumy:
N
N −1
N −1
( x) = ∑ cn
n
= ∑
f ϕ f
(4.9)
n=
0
n=
0
n
N-ta suma częściowa szeregu Fouriera dla funkcji sin(x) ma własność najlepszej
aproksymacji. Składniki sumy f n stanowią impulsy prostokątne o długości α i amplitudzie
określonej przez współczynniki c n zgodnie z równaniem (4.5). Tak więc amplituda
kolejnego impulsu ma wartość znormalizowanego iloczynu skalarnego funkcji
aproksymowanej i funkcji φ(n) – (sin(x), φ(n)). Funkcja f N (x) stanowi przebieg schodkowy
zbudowany ze skończonego ciągu N impulsów.
Opisana metoda aproksymacji przebiegu harmonicznego za pomocą ciągu
impulsów o długości α n pozwala zdefiniować model matematyczny przekształtnika,
w którym synteza przebiegu przemiennego przeprowadzana jest w oparciu o uogólniony
szereg Fouriera. Niech f (x)=sin(x) w przedziale < 0, 2 π ). Model przekształtnika
opisuje wyrażenie:
u
i
n=
N −1
( x) = ϑ c [ ϕ ( x)
]
∑
u
n=
0
n=
N −1
∑
n=
N −1
( x) = ϑi
∑ cn[ ϕn
( x)
] = ϑi
∑
n=
0
n
n
= ϑ
n=
N −1
u
n=
0
n=
0
f
n
f
n
x ∈< 0, 2π >
(4.10)
Model matematyczny przekształtnika opisany przez wyrażenie (4.10) będzie
dalej nazywany modelem fourierowskim i oznaczony MFRP. Współczynniki proporcjonalności
υ u oraz υ i maja odpowiednio wymiar [V] i [A] i określają odpowiednio
poziom przebiegów przemiennych przekształtników.
Do opisu modelu MFRP potrzebna jest znajomość współczynnika υ u lub υ i ,
wybranego ciągu funkcji skalujących φ n (x) oraz ich liczby N. Napięcie lub prąd przekształtnika
wytworzone w chwili t 0 lub dla kąta położenia x 0 =ω t 0 wynikają z (4.10).
Przykładowo napięcie U(ω t 0 ) dla falownika napięcia oblicza się w następujący sposób:
f
n0
= ϕ
U
( ω t )
0
( x − n α )
0
= ϑ f
u
n
0
n0
⎧ω
t0
⎫
= E ⎨ ⎬
⎩ α ⎭
(4.11)
Natomiast, aby obliczyć prąd płynący przez obciążenie przekształtnika napięcia
lub napięcie na obciążeniu przekształtnika prądu w przedziale ω T n ≤ ω T ≤ ω T n+1 ,