modele matematyczne energoelektronicznych przekształtników ...

92
J. Iwaszkiewicz
Wszystkie falki ψ mn
( x ) są ortogonalne w przedziale x ∈< 0, 2 π ). Dla falek
o różnych m i dla danego n:
2
∫ π
0
m n
k
( x) ψ ( x) dx
= 0 dla k ≠ l
ψ (5.15)
m n
l
ponieważ każda falka o mniejszej skali mieści się w przedziale, w którym falka
o większej skali ma wartość stałą. Jednocześnie dla danego m, falki o różnych współczynnikach
n są rozdzielone (przesunięte o długość równą wielokrotności skali) na osi x
i również jest prawdziwe:
2
∫ π
0
mn
k
( x) ψ ( x) dx
= 0 dla k ≠ l
ψ (5.16)
mn
l
Normy falek o skali 2 m+1 π≤2π czyli falek o współczynniku m ≤ 0 spełniają
warunek:
N
m
mn
2
2π
2
mn
−m
( x) dx
≠ 0 dla m ≤ 0 0 ≤ n <
= ψ = ∫ ψ
2
(5.17)
0
Dla m > 0 skala falki jest wielokrotnością przedziału x ∈ < 0, 2π ), natomiast dla
n ≥ 2 m falka znajduje się poza tym przedziałem. W tabeli 5.1 podano przykłady norm
kilku falek, w tym także falek o skali większej niż 2 π .
TABELA 5.1
Normy falek dla m = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
( x)
ψ
mn
ψ
2n
ψ
1n
ψ
0n
ψ
−1n
ψ
−2n
ψ
−3n
ψ
−4n
ψ
−5n
N
m
= ψ 8 π 4π 2π π π /2 π /4 π /8 π / 16
2
mn
Zdefiniowane przekształcenie falkowe (5.12), jak to wyżej wykazano, tworzy
rodzinę nieznormalizowanych funkcji ortogonalnych i może stanowić bazę transformaty
falkowej. Ciągła transformata falkowa funkcji f (x) jest określona równaniem:
( m n) = f ( x) ψ ( x) x
∫ ∞ −∞
Wf ,
mn
d
(5.18)
i przedstawia sobą iloczyn skalarny funkcji f (x) i funkcji ψ mn
( x ). Pełne odtworzenie
f (x) następuje w wyniku zastosowania transformaty odwrotnej
∞
( x) C Wf ( m n) ψ ( x)
∞
∫ ∫
f = ,
mn
dmdn
(5.19)
−∞
−∞
Stałą C można wyliczyć znając transformatę Fouriera funkcji ψ mn ( x ).