modele matematyczne energoelektronicznych przeksztaÅtników ...
modele matematyczne energoelektronicznych przeksztaÅtników ...
modele matematyczne energoelektronicznych przeksztaÅtników ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
92<br />
J. Iwaszkiewicz<br />
Wszystkie falki ψ mn<br />
( x ) są ortogonalne w przedziale x ∈< 0, 2 π ). Dla falek<br />
o różnych m i dla danego n:<br />
2<br />
∫ π<br />
0<br />
m n<br />
k<br />
( x) ψ ( x) dx<br />
= 0 dla k ≠ l<br />
ψ (5.15)<br />
m n<br />
l<br />
ponieważ każda falka o mniejszej skali mieści się w przedziale, w którym falka<br />
o większej skali ma wartość stałą. Jednocześnie dla danego m, falki o różnych współczynnikach<br />
n są rozdzielone (przesunięte o długość równą wielokrotności skali) na osi x<br />
i również jest prawdziwe:<br />
2<br />
∫ π<br />
0<br />
mn<br />
k<br />
( x) ψ ( x) dx<br />
= 0 dla k ≠ l<br />
ψ (5.16)<br />
mn<br />
l<br />
Normy falek o skali 2 m+1 π≤2π czyli falek o współczynniku m ≤ 0 spełniają<br />
warunek:<br />
N<br />
m<br />
mn<br />
2<br />
2π<br />
2<br />
mn<br />
−m<br />
( x) dx<br />
≠ 0 dla m ≤ 0 0 ≤ n <<br />
= ψ = ∫ ψ<br />
2<br />
(5.17)<br />
0<br />
Dla m > 0 skala falki jest wielokrotnością przedziału x ∈ < 0, 2π ), natomiast dla<br />
n ≥ 2 m falka znajduje się poza tym przedziałem. W tabeli 5.1 podano przykłady norm<br />
kilku falek, w tym także falek o skali większej niż 2 π .<br />
TABELA 5.1<br />
Normy falek dla m = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.<br />
( x)<br />
ψ<br />
mn<br />
ψ<br />
2n<br />
ψ<br />
1n<br />
ψ<br />
0n<br />
ψ<br />
−1n<br />
ψ<br />
−2n<br />
ψ<br />
−3n<br />
ψ<br />
−4n<br />
ψ<br />
−5n<br />
N<br />
m<br />
= ψ 8 π 4π 2π π π /2 π /4 π /8 π / 16<br />
2<br />
mn<br />
Zdefiniowane przekształcenie falkowe (5.12), jak to wyżej wykazano, tworzy<br />
rodzinę nieznormalizowanych funkcji ortogonalnych i może stanowić bazę transformaty<br />
falkowej. Ciągła transformata falkowa funkcji f (x) jest określona równaniem:<br />
( m n) = f ( x) ψ ( x) x<br />
∫ ∞ −∞<br />
Wf ,<br />
mn<br />
d<br />
(5.18)<br />
i przedstawia sobą iloczyn skalarny funkcji f (x) i funkcji ψ mn<br />
( x ). Pełne odtworzenie<br />
f (x) następuje w wyniku zastosowania transformaty odwrotnej<br />
∞<br />
( x) C Wf ( m n) ψ ( x)<br />
∞<br />
∫ ∫<br />
f = ,<br />
mn<br />
dmdn<br />
(5.19)<br />
−∞<br />
−∞<br />
Stałą C można wyliczyć znając transformatę Fouriera funkcji ψ mn ( x ).