modele matematyczne energoelektronicznych przekształtników ...

Modele matematyczne energoelektronicznych przekształtników wielopoziomowych. Analiza ... 87
Falki są to funkcje matematyczne, które pozwalają analizować sygnały lub
zestawy danych przy zmiennej skali czasowo-częstotliwościowej i na różnym poziomie
rozdzielczości. Zmienność „skali widzenia” daje możliwość wyodrębnienia i analizowania
zarówno dużych jak i małych detali procesu. Przydatne są szczególnie do analizy
procesów, w których występują nieciągłości lub skokowe zmiany poziomów. Toteż
znalazły liczne zastosowania w tak zdawałoby się odległych dziedzinach jak sejsmologia,
analiza obrazów, fizyka kwantowa czy elektronika. Sam termin „falki” jest
dosłownym tłumaczeniem francuskiego „ondelettes” lub „petites ondes”, co oznacza
„małe fale” i przyjął się powszechnie w literaturze światowej, w tłumaczeniu na język
angielski jako „wavelets”.
Historia przekształceń falkowych sygnałów liczy sobie mniej niż sto lat. Pierwszym
falkowym rozwinięciem sygnału było rozwinięcie Haara. Zostało ono zdefiniowane
w pracy [66] opublikowanej w 1910 roku. W kolejnych latach XX-go wieku
pojawiły się nowe propozycje przekształceń falkowych, z których można wymienić
znane rozwinięcia Rademachera i Walsha [34, 101, 129, 151, 152], a pod koniec
ubiegłego wieku liczne prace takich autorów jak P. G. Lemarie, J. Molet, a zwłaszcza
I. Daubechies [54] i wielu innych.
Falki znalazły liczne zastosowania w fizyce i technice zwłaszcza do badania
zjawisk nieliniowych, nieciągłych, o zmiennych w czasie parametrach. Okazało się, że
stanowią one przydatny aparat do analizy takich zjawisk, zwłaszcza w sytuacji, w której
nie wystarcza tradycyjny aparat matematyczny w postaci np. przekształcenia Fouriera.
Bowiem falki umożliwiają jednoczesną analizę czasową i częstotliwościową własności
badanych procesów. Znalazły też zastosowanie w elektrotechnice teoretycznej. Na
przykład w dziedzinie badań pola elektromagnetycznego wiele prac opublikowali C. Su
i T. K. Sakar [136]. O zastosowaniu funkcji Walsha w elektrotechnice pisał już K. Wajs
[151], a ostatnio wspomniano w pracy [98]. Teorię falek i aproksymacji zamieszczono
w książkach J. T. Białasiewicza [3] i P. Wojtaszczyka [32], a zagadnienia aproksymacyjne
w publikacjach [83, 84, 87, 88].
W zastosowaniach falek kładzie się nacisk na możliwości prowadzenia analizy
zjawisk, sygnałów i np. obrazów, polegające głównie na dekompozycji elementów
składowych badanych procesów. Tymczasem niżej wykazano, że falki mogą być przydatne
do kompozycji nowych sygnałów i struktur nadających się do zastosowania
w energoelektronice.
Rozdział poświęcony został analizie przydatności przekształcenia, opartego na
idei przekształcenia falkowego Haara, do sterowania i budowy falownika wielopoziomowego.
5.2. Podstawowe definicje przekształcenia
falkowego Haara
Podstawową falkę Haara ψ(t )=ψ 00
(t ) można sprowadzić do przekształcenia,
przyjętej z definicji, funkcji skalującej φ (t ).
⎧ 1 dla 0 ≤ t < 1, ⎫
ϕ () t = ⎨
⎬
(5.1)
⎩0
dla innych t⎭