PDF5.31 MB

114Elementy matematyki wyższejy h( 1 + ) = f (1 + h)= (1 + h)+ 8 = h + 2h+ 922i podstawimy do wzoru na obliczanie pochodnej w punkcie (3.6); wówczas otrzymamy22h + 2h+ 9 − 3 h + 2h+ 9 + 3 h + 2h+ 9 − 9y( ′1)= lim⋅= lim=h→0h2h→02h + 2h+ 9 + 3 h ⋅⎜⎛ h + 2h+ 9 3⎟⎞⎝+ ⎠h ⋅( h + 2)h + 2 2 1= lim= lim= = .h→020 2⋅⎜⎛ + 2 + 9 3⎟⎞+ 2 + 9 + 3 9 + 3 3⎝+ h→h h hh h⎠Odpowiedź: Pochodna podanej funkcji w punkcie x 0 = 1 jest równa 1 .3b) y = x 2 − 4 w punkcie x 0 = 2 .Z definicji wartości bezwzględnej mamy2⎧ xf ( x)= ⎨⎩−x22− 4+ 4dladlax ∈(−∞,−2> ∪ < 2, ∞),x ∈(−2,2).Ze wzoru (3.6)f ′(2)= limh→0f (2 + h)−h⎧f (2) ⎪ lim−h→0= ⎨⎪ lim+⎩h→0f (2 + h)− f (2)hf (2 + h)− f (2)h(1)(2)Obliczamy (1) i (2) oddzielnie. Najpierw jednak wyliczymyf (2 + h)= −(2+ h)f (2 + h)= (2 + h)f (2) = 22− 4 = 0;22+ 4 = −4h− h− 4 = 4h+ h22= −h(4+ h)dla h < 0,= h(4+ h)dla h > 0,f (2 + h)− f (2) − h(4+ h)− 0(1) lim= lim= lim − (4 + h)= −4,−−−h→0hh→0hh→0f (2 + h)− f (2) h(4+ h)− 0(2) lim= lim= lim (4 + h)= 4.+++h→0hh→0h h→0Otrzymaliśmy różne wyniki, co oznacza, że granica nie istnieje, więc pochodnadanej funkcji w tym punkcie też nie istnieje.Odpowiedź: Pochodna podanej funkcji w podanym punkcie nie istnieje.