PDF5.31 MB

Logika i teoria mnogości 29(1.30) ~ [ x : ( φ( x) ∨ ψ( x))] ⇔ ∀x: [( ~ φ( x)) ∧ ( ~ ψ( x))]∃ .– Prawa przestawiania kwantyfikatorów. Jeżeli w funkcji zdaniowej zawierającejco najmniej dwie zmienne są dwa kwantyfikatory, to przestawiając je, otrzymamyfunkcję równoważną, z wyjątkiem sytuacji, gdy kwantyfikator ogólnywystępuje przed kwantyfikatorem szczegółowym.Twierdzenie 1.t.8. Prawa przestawiania kwantyfikatorów(1.31) ( x ∀y: φ( x,y)) ⇔ ( ∀y∀x: φ( x,y))∀ ,(1.32) ( x ∃ y : φ( x,y)) ⇔ ( ∃ y∃x: φ( x,y))∃ ,(1.33) ( x ∀ y : φ( x,y)) ⇒ ( ∀y∃x: φ( x,y))∃ .Przykład 1.p.7. Zapis stwierdzenia Liczba całkowita n jest parzysta:( ∃k∈ Z : n = k)n ∈ Z ∧2 .Zapis twierdzenia Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny:2 ≥∀x ∈ R : x 0 .Zapis twierdzenia Nie ma największej liczby naturalnej:( m n)∀ n ∈ N ∃ m ∈ N : > .1.2. Elementy teorii mnogości1.2.1. Działania na zbiorachW teorii mnogości pojęciem pierwotnym (nie definiowanym) jest pojęciezbioru, natomiast pierwotnym symbolem predykatywnym jest symbol przynależnoścido zbioru (znany zapewne wszystkim Czytelnikom symbol ∈). Zbiory będziemyoznaczać zazwyczaj wielkimi literami alfabetu łacińskiego. Zbiory, których elementamisą zbiory, nazywać będziemy czasem klasami zbiorów i oznaczać małymi literamialfabetu greckiego (ale nie zawsze). Elementy zbioru nie powtarzają się. Zbiórpusty to zbiór nie zawierający żadnego elementu (oznaczamy go: ∅ ). Istnieje tylko