PDF5.31 MB

118Elementy matematyki wyższejZadaniaZadanie 3.z.4. Obliczyć pochodną funkcji:a) y = 2x3 − 5x+ 4 ; b)2x − 4 1+ln xy = ; c) u = ;x 2 2+ 2 1+xd)f)2tp = (3 + 2t) ⋅e; e) K = (sin x − 2cos x)⋅lnx ;sin x − 3cos x t + tq = ; g) T = + t ;3sin x + cos x 1 + th) L = ( x + 9)⋅arctgx ; i)Odpowiedzi:sin xQ = arc ; j)x 2 + 1x − arcsinxA =.21−xa) = 6 2 − 2x+ 8x+ 4y ′ x − 5 ; b) y ′ =;2 2( x + 2)221−x (1 + 2ln x)c) u′ =; d)2 2x(1+ x )2 tp′ = (3 + 4t+ 2t) ⋅e;e)g)sin x − 2cos x10K′ = (cos x + 2sin x)⋅lnx +; f) q′ =;2x(3sin x + cos x)1+ 2 tx + 9T′ = ; h) L′ = arc tg x + ;22 t1+xi)2x + 1−2x1−x ⋅arcsinxQ′ =; j)2 2 2(1 + x ) ⋅ 1−x221−1−x − xarcsinxA′ =.22(1 − x ) ⋅ 1−x3.5.1. Pochodna funkcji złożonejDefinicja 3.d.12. Niech będą dane dwie funkcje: y = f ( x)i y = g( x). Funkcją złożoną,czyli złożeniem funkcji f ( x)z funkcją g ( x), nazywamy funkcję y = f ( g( x)), którapowstaje z funkcji y = f ( x)w ten sposób, że w wyrażeniu f ( x)zamiast zmiennej xwstawia się wyrażenie g ( x)(w złożeniu funkcji ważna jest kolejność składania).Funkcję f ( x)nazywamy zewnętrzną, a funkcję g ( x)– wewnętrzną.