PDF5.31 MB

3. Rachunek różniczkowy funkcjijednej zmiennej3.1. Przypomnienie wiadomości o funkcjachPojęcie funkcjiW rozdziale 1 przytoczono ścisłą definicję funkcji jako relacji (definicja tazostała podana przez G. Peano w roku 1911). Przypomnijmy: dane są niepustezbiory X i Y; utwórzmy iloczyn kartezjański, wówczas każdą relację f ⊂ X × Ymającą tę własność, że dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden y ∈ Y , taki że( x,y)∈ f , co można inaczej zapisać: f ( x)= y , nazywamy funkcją. Ta definicjajest zgodna z intuicyjną definicją, którą Czytelnik poznał jeszcze w szkole podstawowej:ma ona tę zaletę, że nie posługuje się nieokreślonym wcześniej słowem„przyporządkowanie”. Teraz jednak możemy się już tym słowem posługiwać (elementprzyporządkowany innemu elementowi – to znaczy będący z nim w określonejrelacji) i będziemy mówić, że argumentowi x jest przyporządkowana wartość y(dokładnie jedna), jeżeli f ( x)= y .Monotoniczność funkcjiPoznane w szkole podstawowej i ugruntowane w szkole średniej pojęciefunkcji wytworzyło zapewne w Czytelniku przeświadczenie, że funkcja opisujezmiany, a więc proces dynamiczny. Podana już dwukrotnie definicja funkcji jakorelacji może wywołać wrażenie, że funkcja to po prostu pewne elementy połączonew pary i... tyle. W zasadzie wrażenie to jest słuszne, jeżeli tylko zbiory argumentów(X) i wartości (Y) są zbiorami i... tyle. Jeżeli jednak każdy z tych zbiorówbędzie miał jakąś strukturę, to sytuacja zmieni się radykalnie. W opisywanychprzez nas funkcjach zbiory argumentów i wartości mają strukturę porządkuliniowego, to znaczy dla każdej pary dwóch różnych elementów zbioru możnaokreślić, który z nich jest większy (albo mniejszy). Przy takim dodatkowymwarunku można określić monotoniczność funkcji w całej dziedzinie albo w jej części.