PDF5.31 MB

Szeregi 2396.4. Rozwijanie w szereg Maclaurina pewnych typówfunkcji wymiernychDla przypomnienia (patrz całki) funkcję, którą zapisujemy w postaci ułamkao liczniku i mianowniku wielomianowym, nazywamy funkcją wymierną.Rozróżniamy dwa rodzaje funkcji wymiernych: właściwą i niewłaściwą, podobniejak ułamki liczbowe. Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopieńwielomianu licznika jest mniejszy od stopnia wielomianu z mianownika, podobniefunkcję wymierną nazywamy niewłaściwą, jeżeli stopień wielomianu licznika jestwiększy od stopnia wielomianu mianownika lub mu równy. Na przykład:3xx23+ 2x−10,− 5x− 77,25x+ 6x− 2x+ 34+ 3x3− 9to funkcje wymierne właściwe;x25x,− 3x+ 52x32− 2x+ x − 3,5x+ 8xx33− 5x+ 3to funkcje wymierne niewłaściwe.+ 3x− 4Każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić jako sumę częścicałkowitej i funkcji wymiernej właściwej, tzn.(6.5)Wn ( x)R(x)= P(x)+ ,V ( x)V ( x)mgdzie: W n (x) − wielomian stopnia n, V m (x) − wielomian stopnia m ( n≥ m),P (x) − wynik dzielenia licznika wyjściowej funkcji wymiernej przez jejmianownik, R (x) − reszta z opisanego wyżej dzielenia stopnia mniejszego od m,P (x) − część całkowita wyjściowej funkcji,mR(x)− funkcja wymierna właściwa.V ( x)Każdą funkcję wymierną właściwą można w sposób jednoznaczny przedstawićjako sumę ułamków prostych. Sposób wyliczania podano w rozdziale 4 (patrzcałka nieoznaczona). Nas będą interesowały tylko pewne ułamki proste, postaci:Ax + B(6.6) ,2a + bxmC,d + exgdzie a ⋅b > 0 oraz d ⋅e ≠ 0 .Wymienione wyżej ułamki proste po wykorzystaniu wzoru dobrze znanegoze szkoły średniej, dotyczącego sumy nieskończonego ciągu geometrycznego