PDF5.31 MB

218Elementy matematyki wyższej⎞⎜⎛ n > 1 + ⎟ → ∞,gdy n → ∞ , więc S n → ∞2⎝ 22;⎠S noznacza to, żeS n → ∞ , a zatem szereg harmoniczny jest rozbieżny.6.1.3. Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnichDefinicja 6.d.5. Szereg liczbowy ∑ ∞ a n , dla którego a n > 0 dla każdego n naturalnego,nazywamy szeregiem o wyrazachn=1dodatnich.Uwaga 6.u.6. Dla szeregów o wyrazach dodatnich w celu skrócenia zapisu wprowadzasię następujące oznaczenia:∑ ∞=1 n∑ ∞=1 nc < ∞ oznacza, że szereg jest zbieżny,nd = ∞ oznacza, że szereg jest rozbieżny.nKryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich1. Kryterium porównawczeJeżeli istnieje taka liczba skończona K, że dla każdego n > K(a)∞an≤ bnoraz ∑ bn< ∞,to ∑ an< ∞ .∞n= 1n=1Jeżeli istnieje taka liczba skończona K, że dla każdego n > K(b)∞an≥ bnoraz ∑ bn= ∞ , to ∑ an= ∞.∞n= 1n=12. Kryterium ilorazowe, zwane również kryterium d’Alamberta. Gdy dany jest szerego wyrazach dodatnich∑ ∞=1 na 1na n oraz g lim+= , wówczasn→∞anjeżeli g < 1, to dany szereg jest zbieżny,