PDF5.31 MB

152Elementy matematyki wyższejWyliczamy teraz wartość najmniejszą. Funkcja w zadanym przedziale niema minimum, więc jej wartość najmniejsza jest najmniejszą z liczb, jakie osiągafunkcja na brzegach podanej dziedziny:y ( −1)= −150 −1= − 7, y(7)= 7 50 − 49 = 7,liczbą tą jest więc –7.Odpowiedź: Zadana funkcja w danym przedziale osiąga wartość największą równą25 oraz wartość najmniejszą równą –7.Przykład 3.p.20. Znaleźć wymiary zbiornika w kształcie prostopadłościanu, któregodługość jest cztery razy większa od szerokości, tak aby koszt jego budowy byłnajmniejszy, jeśli jego dno jest droższe od ścian bocznych o 20% (zakładamy, żezbiornik nie jest przykryty), a objętość jest równa 480 m 3 .Schemat rozwiązania:(1) Wyliczamy funkcję jednej zmiennej, która określi koszt budowy.(2) Wyznaczamy przedział zmienności zmiennej występującej w (1).(3) Wyliczamy wartość najmniejszą wyliczonej funkcji w wyznaczonym przedziale.Ad. (1) Z tekstu zadania wynika, że koszt budowyK = (4a⋅ a ⋅1,20+ 2⋅4a⋅ h + 2⋅a ⋅ h)⋅ k = (4,8a10ah)k ,gdzie a – szerokość, h – wysokość, k – koszt budowy 1 m 2 ściany bocznej.Objętość V = 4a⋅ a ⋅ h = 4a 2 h,a z tekstu zadania wynika, że V = 480 m 2 ,2 480 120więc 4a h = 480 ⇒ h = = , czyli po podstawieniu do funkcji określającej2 24aakoszt budowy otrzymamy:1200K = (4,8a 2 + ) k .aAd. (2) Wyliczamy teraz przedział zmienności a. Zmienna a jako szerokość musibyć dodatnia i spełniać warunek z zadania V = 480, czyli a ∈ ( 0, ∞).Ad. (3) Obliczamy najmniejszą wartość funkcjiK =4,8a2 +1200aw przedziale a ∈( 0, ∞).2 +