PDF5.31 MB

Szeregi 219jeżeli g > 1, to dany szereg jest rozbieżny,jeżeli g = 1, to szereg może być zbieżny lub rozbieżny.3. Kryterium pierwiastkowe, zwane również kryterium Cauchy’ego. Gdy dany jestszereg o wyrazach dodatnich∑ ∞=1 na n orazg = lim a , wówczas:nn→∞njeżeli g < 1, to dany szereg jest zbieżny,jeżeli g > 1, to dany szereg jest rozbieżny,jeżeli g = 1, to szereg może być zbieżny lub rozbieżny.Uwaga 6.u.7. Szereg ∑ ∞ 1jest zbieżny dla α > 1 oraz rozbieżny w pozostałychα=1przypadkach.n nPrzykład 6.p.2. Zbadać zbieżność szeregu:a) ∑ ∞ 2=1 n !; b) ∑ ∞ (2n+ 1)!; c)2n∑ ∞ 3 + nn ; d) ∑ ∞ n + n4= ( n + 3)= n!+ 5= 2n+ 3nnnn 1n 1n3n 122;e) ∑ ∞ n + n2; f)n ∑ ∞ + n.3 2= 5 + n!= n + 2n+ 4nn 13Rozwiązaniannn 1a) ∑ ∞ 2n=1 n !.Zastosujemy kryterium ilorazowe, wypiszemy więc:nn+2 12an = n!oraz 2 ⋅ 2n+an + 1 = = , gdzie: 2 1 n= 2 ⋅ 2 ;( n + 1)! n!(⋅ n + 1)(n+1)! = 1 · 2 · 3·...· n· (n + 1) = n! ·(n + 1).Wyliczymy teraz:nan+2 2 ! 2lim 1 ⋅ ng = = lim ⋅ = lim = 0 < 1 .n→∞a n→∞nn!(⋅ n + 1) 2 n→∞n + 1nn2n