PDF5.31 MB

2.1.2. Macierz odwrotnaRachunek macierzowy 47że5 11 55Załóżmy, że dana jest macierz kwadratowa A; zgodnie z powyższymi rozważaniamiwykonalne jest mnożenie tej macierzy przez dowolną macierz kwadratowąB tego samego wymiaru. Postawmy następujący problem: Czy istnieje takamacierz B, aby po wykonaniu tego mnożenia otrzymać pewną, z góry określonąmacierz, a jeśli istnieje, to w jaki sposób ją znaleźć?Problem rozpatrywany w zbiorach liczbowych jest Czytelnikowi doskonaleznany.Odpowiednikiem mnożenia macierzy jest mnożenie liczb. Jeśli mamy dwie3liczby, np. 5i 7 11, to znając regułę mnożenia ułamków, zastosujemy ją i stwierdzimy,3 7 21⋅ = . Nieco inaczej jest, gdy znamy jeden z czynników oraz wynik mnożenia,a nie znamy drugiego czynnika. Ale i tu radzimy sobie nieźle, gdyż, jeśli np.3 2⋅ x = , to drugi czynnik otrzymamy, mnożąc wynik działania przez odwrotność513znanego czynnika: 2 ⋅ 510x = , czyli x = . Jeśli uświadomimy sobie znane fakty,13 339a mianowicie:−1−− między liczbą a i jej odwrotnością a jest taki związek, że a ⋅ a1 = 1 ;− istnieje liczba, która nie ma odwrotności – jest to 0;− „jedynką” w mnożeniu macierzy jest macierz jednostkowa E, czyliE ⋅ A = A ⋅ E = A ,to zobaczymy, że problem sprowadza się przede wszystkim do znalezieniaodwrotności oraz że analogiczny problem możemy postawić w rachunku macierzy.Prowadzi to nas do ważnej definicji.Definicja 2.d.2. Macierz kwadratową B nazywamy macierzą odwrotną do macierzykwadratowej A, gdy A ⋅ B = B ⋅ A = E . Macierz odwrotną do macierzy Aoznaczamy: A -1 .Uwaga 2.u.31. Nie każda macierz kwadratowa ma macierz odwrotną. Macierz, która ma macierzodwrotną, nazywamy nieosobliwą, a macierz, która jej nie ma – osobliwą.2. Odwrotność macierzy jest inwolucją, tzn. (A -1 ) -1 = A (inwolucją nazywamyprzekształcenie, które dwukrotnie, kolejno wykonane na tym samym elemenciepowraca do punktu wyjścia; inwolucją jest np. przejście przez drzwi; autorzyserdecznie odradzają sprawdzenie, czy przejście przez okno jest inwolucją).