PDF5.31 MB

216Elementy matematyki wyższejd)2 − ( n + 2)!d n =; e)3n!+ 4( n + 1)!en2n⎛ 3n−1⎞= ⎜ ⎟ ; f)⎝ 3n+ 2 ⎠fn9n⎛ 4n+ 3 ⎞= ⎜ ⎟ .⎝ 4n− 7 ⎠Odpowiedzi:1 1a) ; b) 0; c) 2; d) ∞ ; e) 32e ; f) e2.456.1.2. Określenie szeregu liczbowego i jego sumyoraz zbieżność i rozbieżność szereguDefinicja 6.d.3. Niech będzie dany ciąg liczbowy ( an) ; wówczas wyrażeniepostaci: a 1 + a2+ ... + an+ ... nazywamy szeregiem liczbowym i zapisujemy ∑ ∞ a n .=1Definicja 6.d.4. LiczbęSn= a1 + a2+ ... + anazywamy sumą częściową szeregu liczbowego, a granicę ciągu liczbowego ( S n )– ciągu sum częściowych, nazywamy sumą szeregu liczbowego i oznaczamy S;jeżeli suma istnieje i jest liczbą skończoną, to wyjściowy szereg nazywamyzbieżnym, natomiast w pozostałych przypadkach (granica nie istnieje, granica jestliczbą nieskończoną) szereg nazywamy rozbieżnym.Uwaga. 6.u.4. Na ogół wyliczenie sumy szeregu liczbowego zbieżnego jestniezmiernie trudne, jednakże można wyliczyć jej wartość przybliżoną, wyliczającsumę częściową, np. S4, S14itd. W związku z tym należy wiedzieć, czy szereg jestzbieżny, czy rozbieżny, co oznacza, że wiemy, czy można przybliżyć sumę szereguprzez sumę częściową czy nie. Szeregi liczbowe rozbieżne mają zastosowaniew szczególnych przypadkach (np. do oszacowań pewnych funkcji rozbieżnych).Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowegon=n∑i=1ainTwierdzenie 6.t.1. Jeżeli nieskończony szereg liczbowy ∑ ∞ a n jest zbieżny, ton=1lim a = 0.n→∞n