PDF5.31 MB

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 143Przykład 3.p.17. Zbadać przebieg zmienności i naszkicować wykres funkcjia)2x + 1f ( x)= ; b)x2− 4f ( x)=x2+ 2x+ 1.2 − xRozwiązaniaa)2x + 1f ( x)= .x2− 42Ad. (1.1) Dziedzina: x − 4 ≠ 0, x ≠ ± 2, x∈(−∞,−2)∪ ( −2,2)∪ (2, ∞).Granice na końcach przedziałów dziedziny:limx→±∞2x + 1=2x − 40↑11+2lim x→±∞ 41−2x↓x0= 1,lim−x→−2lim+x→−2xx22xx22+ 1 5=+− 4 0+ 1 5=−− 4 0= +∞,= −∞,lim−x→2lim+x→2Ad. (1.2) Asymptoty: y = 1 (pozioma); x = −2, x = 2 (pionowe).Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych:xx22xx22+ 1 5=−− 4 0+ 1 5=+− 4 0= −∞,= +∞.2x +Ox y = 0 ⇒1 = 0⇒x2 + 1 = 02x − 4(brak rozwiązań – funkcja nie przecina osi Ox);20 + 1 1Oy x = 0 ⇒ y = = − ,20 − 4 41A = ( 0, − ) jest punktem przecięcia danej funkcji z osią Oy.4Ad. (2) Pochodna:2x(xf ′(x)=2− 4) − 2x(x2 2( x − 4)2+ 1) −10x=2( x − 4)2jest ułamkiem, którego mianownik jest dla każdego x z dziedziny dodatni, więcznakiem pochodnej jest znak jej licznika. Sporządzamy więc wykres licznika pochodnej(rys. 3.30) i z tego wykresu, po uwzględnieniu dziedziny, odczytujemy