PDF5.31 MB

Funkcje wielu zmiennych 181– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona względem zmiennej x:∂g∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =2∂x∂x⎝ ∂x⎠ ∂x– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona najpierw względem zmiennej x,a następnie względem zmiennej y:∂g∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =∂y∂y⎝ ∂x⎠ ∂y∂x– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona najpierw względem zmiennej y,a następnie względem zmiennej x:2∂h∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =∂x∂x⎝ ∂y⎠ ∂x∂y– pochodna cząstkowa drugiego rzędu liczona względem zmiennej y:2∂h∂ ⎛ ∂z⎞ ∂ z= ⎜ ⎟ = =2∂y∂y⎝ ∂y⎠ ∂yUwaga 5.u.3. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu liczone względem zmiennych x i yniezależnie od kolejności ich liczenia nazywamy pochodnymi cząstkowymi mieszanymi.Twierdzenie 5.t.1 (Schwarza o pochodnych mieszanych). Jeżeli pochodne cząstkowemieszane z xy oraz z yx są funkcjami ciągłymi, to są one sobie równe, czyli zachodzirówność22z xy = z yx .Definicja 5.d.10. Przez analogię pochodne cząstkowe rzędów wyższych niż drugi wyliczamyjako pochodną cząstkową z pochodnej cząstkowej rzędu o jeden niższego.Uwaga 5.u.4. Z twierdzenia o pochodnych mieszanych wynika, że przy obliczaniupochodnych mieszanych wyższych rzędów kolejność liczenia pochodnych nieodgrywa roli, gdy odpowiednie wyliczane pochodne są funkcjami ciągłymi.3∂ zNa przykład, aby wyliczyć pochodną , musimy liczyć pochodną kolejno trzy2∂x∂yrazy – w tym dwa razy względem zmiennej x i raz względem zmiennej y,a kolejność liczenia tych pochodnych jest dowolna. Oznacza to, że możemy liczyćnajpierw pochodną cząstkową względem zmiennej x, z tego wyniku pochodnącząstkową względem zmiennej x, a następnie z otrzymanej funkcji – pochodnąz xxz yxz xyz yy;.;;