PDF5.31 MB

Rachunek macierzowy 632. Wyznacznik stopnia trzeciego. Dopisujemy z prawej strony dwie pierwszekolumny lub poniżej – dwa pierwsze wiersze:aaa112131aaa122232aaa132333aaa112131aaa122232== a.11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 − a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33Ta metoda nazywa się metodą Sarrusa.Własności wyznaczników1. Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem wyrazów głównej przekątnej.2. Wyznacznik macierzy, w której jeden wiersz lub jedna kolumna składa sięz samych zer, jest równy 0.3. Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi jej macierzy transponowanej.4. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami dwóchwierszy lub dwóch kolumn, to det(B) = – det(A).5. Jeśli w macierzy dwa wiersze lub dwie kolumny są identyczne lub proporcjonalne,to jej wyznacznik jest równy 0.6. Jeśli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementówdet B = c ⋅ det A .jednego wiersza lub jednej kolumny przez liczbę c, to ( ) ( )7. Wyznacznik nie zmienia wartości, gdy do wiersza (lub kolumny) dodamyodpowiednie elementy innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przezdowolną stałą.2.2.2. Minor macierzy. Dopełnienie algebraiczneDefinicja 2.d.4. Niech będzie dana macierz A [ n × m ] i niech p ≤ min{m,n}. Jeżeliw macierzy A skreślimy m – p wierszy i n – p kolumn, to powstanie macierzkwadratowa, której wyznacznik nazywamy minorem stopnia p macierzy A.Definicja 2.d.5. Niech będzie dana macierz kwadratowa A stopnia n × n . Dladowolnego, ustalonego elementu aijtej macierzy skreślamy i-ty wiersz i j-tą kolumnęw macierzy A. NiechM ij będzie minorem macierzy A, czyli wyznacznikiem takwłaśnie utworzonej macierzy kwadratowej. Dopełnieniem algebraicznym elementui+jA = −1 ⋅ M .a macierzy A nazywamy liczbę ij( )ijij