PDF5.31 MB

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 139jeślif ′′ ( x0f ′′ ( x0) < 0,) > 0,to funkcja ma maksimum,to funkcja ma minimum.Uwaga 3.u.13. Zmiana znaku pierwszej pochodnej w otoczeniu punktu x 0 jest kryteriumrozstrzygającym, choć czasem trudnym „obliczeniowo”. Kryterium „drugiejpochodnej” nie zawsze rozstrzyga kwestię istnienia ekstremum. Istnieje ogólniejszekryterium:Jeśli funkcja y = f (x)ma pochodną rzędu n (co oznacza istnieniewszystkich pochodnych niższych rzędów) w pewnym otoczeniu punktu x 0( n−1i ′( ) ( ) .... )0′′(f x = f x0= = f ( x0) = 0 , ale f n )( x 0 ) ≠ 0 , to – jeśli n jest liczbą( )parzystą – funkcja y = f (x)ma w punkcie x0ekstremum lokalne; jeśli f n ( x 0 ) < 0,( )to funkcja ma maksimum lokalne, jeśli f n (x0)> 0 – funkcja ma minimum lokalne.Uwaga 3.u.14. Ekstremum funkcji będziemy wyliczać analogicznie jak monotonicznośćfunkcji.Uwaga 3.u.15. Z wykresu części określającej znak pochodnej i jej miejsca zeroweodczytujemy, co następuje:+ 0 − funkcja osiąga maksimum lokalne,− 0 + funkcja osiąga minimum lokalne,+ 0 + brak ekstremum, funkcja rośnie,− 0 − brak ekstremum, funkcja maleje.Przykład 3.p.16. Znaleźć wartości ekstremalne funkcji3 3 2 +a) y = x − x − 9x2 ; b)2 −d) y = ( x −1)x 1 ; e)2y = x2 + ; c)x21x2y = ( x − 3) e .22x − 5y = ; 3 − xRozwiązania3 3 2 +a) y = x − x − 9x2 .Ad. (1) Dziedzina:x∈ R .2Ad. (2) Wyliczamy pochodną: y ' = 3x− 6x− 9 oraz sporządzamy jej wykres (miejscazerowe x = − x 3 ), na wykresie nanosimy znaki pochodnej i jej miejsca zerowe(rys. 3.28).1 1 2 =