PDF5.31 MB

84Elementy matematyki wyższej3. Rozdzielność iloczynu względem sumy.→ → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞a ⋅⎜u+v ⎟ = ⎜a⋅ u⎟ + ⎜a⋅ v ⎟ ,⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞( + b) ⋅ u = ⎜a⋅ u ⎟ + ⎜b⋅ u⎟ ⎠ ⎠a ,⎝ ⎝→ → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞u ⋅ ⎜ v + w⎟= ⎜ u ⋅ v ⎟ + ⎜ u⋅w⎟,⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠→ → → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞u × ⎜ v + w⎟= ⎜ u × v ⎟ + ⎜ u × w⎟.⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Warunek równoległości wektorów. Dwa wektory → u i → v są równoległe wtedyi tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczywista a lub liczba rzeczywista b , taka że→→→→zachodzi równość u = a ⋅ v lub v = b ⋅ u . Wynika stąd, że wektor zerowy jestrównoległy do każdego wektora – warunek równoległości zachodzi dla a = 0 (lubb = 0 ); wynika stąd również, że każdy wektor jest równoległy do siebie ( a = b = 1).Warunek prostopadłości wektorów. Dwa wektory → u i → v są prostopadłewtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru, tzn. u ⋅ v→ = 0 .Wynika stąd, że wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.Postać analityczna wektoraWektor w przestrzeni jednowymiarowej (wektor na prostej)Niech będzie dana prosta, a na niej wyróżniony punkt. Z prostej tworzymyoś liczbową, a wyróżniony punkt oznaczamy przez O, przypisując mu liczbę(cechę) 0. Z możliwych dwóch zwrotów (prawo – lewo) wybieramy jeden w takisposób, że na prostej wyróżniamy drugi punkt, różny od punktu O, i oznaczamy goE. Punktowi E przypisujemy liczbę (cechę) 1.Zwrot osi liczbowej określamy jako zwrot wektora→→→→OE , wektor→OEnazywamy wersorem osi i oznaczamy: OE = e . Na tak utworzonej osi liczbowej→obieramy dowolny punkt A i tworzymy wektor OA . Wektor ten jest równoległy do