PDF5.31 MB

28Elementy matematyki wyższejW tej książce używana będzie współczesna notacja kwantyfikatorów (∀ i ∃ ).Przykład 1.p.6. Zdanie: Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemnązapisujemy:( x 0)2 ≥∀x ∈ R : ,a zdanie: Istnieje liczba rzeczywista większa od 3,14 i mniejsza od 722zapisujemy:⎛ 22 ⎞∃ x ∈ R : ⎜3,14< x < ⎟ .⎝ 7 ⎠Jeżeli kwantyfikator odnosi się do funkcji zdaniowej φ ( x), której zakresemjest zbiór A , to zapisujemy odpowiednio: ∀ x ∈ A:φ( x)oraz ∃ x ∈ A:φ( x). Jeżelinatomiast z wcześniejszych rozważań wynika bez wątpliwości, jaki zbiór jestx : φ x ∃ x : φ x .zakresem zmiennej, to zapisujemy odpowiednio: ∀ ( ) oraz ( )Twierdzenie 1.t.7. Prawa rachunku kwantyfikatorowego– Rozdzielność względem alternatywy i koniunkcji:(1.24) x : ( φ( x) ∧ ψ( x)) ⇔ [ ∀x: φ( x) ∧ ∀x: ψ( x)]∃ x : ( φ( x) ∧ ψ( x)) ⇔ [ ∃x: φ( x) ∧ ∃x: ψ( x)];∀ ,(1.25) x : ( φ( x) ∨ ψ( x)) ⇔ [ ∀x: φ( x) ∨ ∀x: ψ( x)]∀ ,( φ( x) ∨ ψ( x)) ⇔ [ ∃x: φ( x) ∨ x ψ( x)]∃ x : ∃ : .– Negacja (prawa De Morgana dla rachunku kwantyfikatorowego). Zaprzeczeniezdania z kwantyfikatorem polega na zmianie kwantyfikatora (z ogólnego naszczegółowy albo odwrotnie) i zaprzeczeniu funkcji zdaniowej.(1.26) ~ ( ∀ x : φ ( x)) ⇔ ( ∃x: ~ φ( x)) oraz ~ ( x : φ( x)) ⇔ ( ∀x: ~ φ( x))∃ .Wnioskami z powyższego twierdzenia są następujące zależności:(1.27) ~ [ x : ( φ( x) ∧ ψ( x))] ⇔ ∃x: [( ~ φ( x)) ∨ ( ~ ψ( x))]∀ ,(1.28) ~ [ x : ( φ( x) ∨ ψ( x))] ⇔ ∃x: [( ~ φ( x)) ∧ ( ~ ψ( x))]∀ ,(1.29) ~ [ x : ( φ( x) ∧ ψ( x))] ⇔ ∀x: [( ~ φ( x)) ∨ ( ~ ψ( x))]∃ ,