PDF5.31 MB

178Elementy matematyki wyższejto nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji z = f ( x,y)względem zmiennej xi zapisujemy ją w jeden z następujących sposobów:Definicja 5.d.8. Jeżeli istnieje granica∂ z ∂ z , , ∂ x f , ∂ x z , f x,z x.∂x∂xf ( x,y + k)− f ( x,y)lim,k→0kto nazywamy ją pochodną cząstkową funkcji z = f ( x,y)względem zmiennej yi zapisujemy ją w jeden z następujących sposobów:∂f∂z, , ∂ y f , ∂ yz,f y,z y.∂y∂yZ definicji 5.d.7 i 5.d.8 wynika, że gdy obliczamy pochodną cząstkowąfunkcji względem zmiennej x, wówczas y się nie zmienia, więc należy ją traktowaćjako stałą. Analogicznie – przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem zmiennejy – x traktujemy jako stałą, a wyliczenie pochodnej cząstkowej odbywa się tak jakobliczanie pochodnej dla funkcji jednej zmiennej.Przykład 5.p.1. Wyliczyć pochodne cząstkowe następujących funkcji:23x + 3ya) z = 3x− 2xy+ 4y+ 6x− 7y+ 8 ; b) z = ;2 2x + y4 4 2 +2 2x + 2 yc) z = x + y 7 ; d) z = ( x + y)e .RozwiązaniaDziedziną wszystkich wymienionych wyżej funkcji jest R 2 = R × R, czylizbiór wszystkich par liczb rzeczywistych.∂z∂za) = 6 x − 2y+ 6 ; = −2x+ 12y2 − 7 ;∂x∂yb)221⋅( x + y ) − ( x + 3y)⋅ 2x− x + y − 6xy∂ ==,x z2 2 22 2( x + y ) ( x + y ) 222223x+ 3y− 2xy− 6y3x− 3y− 2xy∂ ==;y z22 2 22 2( x + y ) ( x + y ) 222