PDF5.31 MB

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 115ZadaniaZadanie 3.z.2. Korzystając z definicji, obliczyć pochodną funkcji w podanym punkcie:12a) f ( x)= , x0 = −1;b) g ( x)= 2x+ 7, x0= 1.x + 2Odpowiedzi:a) f ′( −1)= −1, b)2g ′( 1) = .33.5. Pochodna jako funkcjaDefinicja 3.d.11. Niech będzie dana funkcja y = f(x), ciągła w przedziale (a,b). Dlax ∈(a,b) określamy:(3.8)f ′(x)= limh→0f ( x + h)− f ( x).hJeśli granica istnieje, to funkcję f ′( x)określoną w (3.8) nazywamy pochodną funkcji.Przykład 3.p.6. Korzystając z definicji, wyliczyć pochodną funkcjif ( x)= x + 3 .Aby wykorzystać definicję pochodnej, musimy wyliczyćf ( x + h)= ( x + h)+ 3 = x + h + 3 ,f ( x + h)− f ( x)x + h + 3 − x + 3f ′(x)= lim= lim⋅h hh→0h( x + h + 3) − ( x + 3)h= lim= limh 0 h(x + h + 3 + x + 3) h→0h(x + h + 3 + x + 3111= lim == .h →0 x + h + 3 + x + 3 x + 3 + x + 3 2 x + 3x + h + 3 +x + h + 3 +x + 3=+→ 0 x 3→ )1Odpowiedź: Pochodna funkcji jest równa: .2 x + 3df dySposoby zapisywania pochodnej: f ′(x);y′; ; .dx dx=