PDF5.31 MB

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 1512. W przedziale otwartym. Wartość największą w przedziale otwartym (jeślitaka istnieje) funkcja osiąga tylko wewnątrz przedziału, czyli jest to największaz wartości maksymalnych wewnątrz tego przedziału. Gdy chociaż jedna z granicdanej funkcji na brzegach przedziału (na lewym brzegu przedziału granica prawostronna,na prawym brzegu przedziału granica lewostronna) jest liczbą większą odwyliczonej wcześniej wartości największej, wówczas mówimy, że dana funkcjaciągła nie osiąga wartości największej w tym przedziale.Podobnie w przypadku wartości najmniejszej w przedziale otwartym, ponieważmusi być ona osiągnięta wewnątrz przedziału, więc jest to najmniejsza z wartościminimalnych wewnątrz danego przedziału. Gdy chociaż jedna z granic danej funkcjina brzegach przedziału jest mniejsza od wartości najmniejszej wyliczonej wewnątrzprzedziału, wówczas mówimy, że dana funkcja ciągła w danym przedziale wartościnajmniejszej nie osiąga.Uwaga 3.u.17. Jeżeli dana funkcja ciągła w przedziale domkniętym lub otwartymma w danym przedziale tylko maksimum oraz z lewej strony maksimum funkcja tastale rośnie, a z prawej strony zawsze maleje, to wartość maksymalna tej funkcjijest jednocześnie jej wartością największą.Uwaga 3.u.18. Podobnie, gdy dana funkcja ciągła w zadanym przedziale domkniętymlub otwartym ma tylko minimum oraz gdy z lewej strony minimum funkcja tazawsze maleje, a z prawej tylko rośnie, wówczas wartość minimalna tej funkcji jestjednocześnie jej wartością najmniejsząPrzykład 3.p.19. Wyliczyć wartości największą i najmniejszą funkcji ciągłej2y = x 50 − x w przedziale − 1, 7 .Ad. (1) Dziedzina: podana w zadaniu.Ad. (2) Pochodna:y'= 1⋅50 − x2+ x2− 2x50 − x2250 − x − x=250 − x222(25 − x )=250 − xjest ułamkiem, którego mianownik jest dodatni dla każdego x z podanej dziedziny,więc z wykresu funkcji licznika pochodnej odczytamy monotoniczność i ekstremum2danej funkcji w zadanym przedziale w = 2(25 − x ) .Ad. (3) Dla x = 5 funkcja osiąga maksimum równe y = 5 50 − 25 25 ; z lewejmax =strony maksimum funkcja stale rośnie, a z prawej strony zawsze maleje, więc 25jest wartością największą danej funkcji w danym przedziale.