PDF5.31 MB

210Elementy matematyki wyższeje1 2 2− x − y2> 0 , zatem układem równoważnym jest:⎧ 1−x ⋅⎨⎩2− 2y( x + 2y− 2)⋅( x + 2y− 2)= 0,= 0a po wymnożeniu i uporządkowaniu:⎧ x ⋅⎨⎩2y( x + 2y− 2)⋅( x + 2y− 2)= 1;= 2ponieważ wyrażenie w nawiasie nie może być równe zero (dlaczego?), możemy obarównania podzielić stronami przez siebie, otrzymując rozwiązanie: x = y. Otrzymanywynik podstawiamy do jednego z równań układu, np. pierwszego, i wówczas:3 2 1y − 2y−1= 0 i dalej y 1 = − y2= 13oraz odpowiednio1x 1 = − x2= 1 .3Mamy więc dwa punkty stacjonarne P1 ( − 1/3, −1/3),P2(1,1 ) . Uwzględniając uwagęz punktu (1), odrzucamy punkt P1.Ad. (4) Wyliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:zxxP2=1 2 21 2 2− x − y− x − y22{[ −1⋅( x + 2y− 2)− x ⋅1] ⋅e+ [ 1−x ⋅( x + 2y− 2)] ⋅e⋅( − x)}P =−323232= −2⋅ e + 0 ⋅ e = −2⋅ e ,−−2zyy P2=1 2 21 2 2− x −y− x −y22{[ − 2⋅( x + 2y− 2)− 2y⋅ 2] ⋅e+ [ 2 − 2y⋅( x + 2y− 2)] ⋅e⋅( − 2y)}P =3 − 23 − 23 − 2= −6⋅e + 0⋅e= −6⋅e,2zyxP2=1 2 21 2 2− x − y− x − y22{[ − x ⋅ 2] ⋅e+ [ 1−x ⋅( x + 2y− 2)] ⋅e⋅( − 2y)}P =23 − 23 − 23 − 2= −2⋅ e + 0 ⋅ e = −2⋅ e .