Bildgebung mit DEPFET - Prof. Dr. Norbert Wermes - Universität Bonn

135s(t) = u(t) − u(t − ∆T)(A.9)Die Autokorrelationsfunktion ϱ(t) von s(t) ergibt sich daher zu:1ϱ(τ) = limT →∞ T1= limT →∞ TlimT →∞1T∫ +T−T∫ +T−T∫ +T−T[u(t) − u(t − ∆T)] [u(t + τ) − u(t − ∆T + τ)]dt1u(t)u(t + τ)dt + limT →∞ T∫ +T−Tu(t − ∆T)u(t + τ)dt − limT →∞1Tu(t − ∆T)u(t − ∆T + τ)dt −∫ +T−Tu(t)u(t − ∆T + τ)dt(A.10)Wenn ˜ϱ(t) die entsprechende Autokorrelationsfunktion von u(t) ist, folgt aus GleichungenA.5 und A.10:ϱ(τ) = 2 ˜ϱ(τ) − ˜ϱ(τ + ∆T) − ˜ϱ(τ − ∆T)(A.11)Aus Gleichungen A.8 und A.11 folgt:〈s 2 ges〉 = ϱ(0) = 2(˜ϱ(0) − ˜ϱ(∆T)) (A.12)Durch Berechnung der Autokorrelationsfunktion von u(t) mit Gl. A.6 lässt sich so aufeinfache Weise das Rauschen nach der Filterung durch eine korrelierten Doppelmessungberechnen.Weißes RauschenFür eine weiße Rauschquelle am Eingang des Systems mit einer frequenzunabhängigenRauschleistungsdichte 〈i 2 (f)〉 = a wird die Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignalsu(t) nach Gl. A.6 beschrieben durch:˜ϱ(τ) = A · a= A · a2π= A · a4∫ +∞0∫ +∞0· ω 0 · e −ω 0 τT 2 (f) cos(2πfτ)dfcos(ωτ)1 + ( ω ω 0) 2 dω(A.13)Einsetzen von Gleichung A.13 in A.12 liefert die gesamte Rauschleistung:〈u 2 ges weiss〉 = A · a2· ω 0 · (1 − e −ω 0 ∆T ) (A.14)