Bildgebung mit DEPFET - Prof. Dr. Norbert Wermes - Universität Bonn

137∫ +∞b˜ϱ(τ) = A (f) cos(2πfτ)df0 |f| αT2 ∫ +∞= Ab(2π) α−1 cos(ωτ)0 ω α (1 + ( ) dωωω 0) 2(A.16)Einsetzen von Gleichung A.16 in A.12 liefert die gesamte Rauschleistung:∫ +∞〈u 2 ges 1/f〉 = 2Ab(2π) α−1 1 − cos(ω∆T)0 ω α (1 + ( ) dωωω 0) 2(A.17)Mit x = ω/ω 0 ergibt sich:〈u 2 ges 1/f〉 = 2Ab( ) 2π α−1 ∫ +∞ 1 − cos (ω 0 ∆Tx)dxω 0 0 x α (1 + x 2 )(A.18)Gleichung A.18 lässt sich nun für gegebene Werte von ω 0 , ∆T, b und α numerisch berechnen.Ohne weiter darauf einzugehen sei angemerkt, dass es bei der Berechnung desIntegrals aufgrund der (für 1 < α < 2) hebbaren Singularität in 0 sinnvoll ist, dieFunktion unter dem Integral in der Umgebung des Nullpunktes in eine Taylorreihe zuentwickeln. Eine andere Näherungsformel für den Spezialfall α = 1 findet sich in derLiteratur [Kan80].Es lässt sich erkennen, dass das Integral in Gl. A.18 nur von dem Produkt ω 0 ∆T abhängt 2 .Hierdurch ist eine Reduktion des Rauschens durch beispielsweise eine Verkleinerung derGrenzfrequenz begrenzt. Dies liegt daran, dass eine Verringerung der Grenzfrequenzgeringere Signalanstiegszeiten bedeutet. Der Messabstand muß jedoch größer als dieseSignalanstiegszeit sein, damit Signale noch nachgewiesen werden. Eine kleinere Grenzfrequenzmuß daher mit einem längeren Zeitintervall zwischen den Messungen erkauftwerden, so dass das Produkt ω 0 ∆T nach unten begrenzt ist.Wird das Rauschen wieder in eine äquivalente Rauschladung im DEPFET-Detektor umgerechnetund Gl.A.2 in Gl. A.18 eingesetzt, so ergibt sich für das 1/f-Rauschen desDEPFET-Detektors〈ENC 2 1/f〉 = 2 a 1/f g 2 mg 2 q( ) 2π α−1 ∫ +∞ 1 − cos(ω 0 ∆Tx)dxω 0 0 x α (1 + x 2 )(A.19)Die auf 2a 1/f g 2 m/g 2 q normierte Abhängigkeit des 1/f-Rauschens von dem Zeitabstandzwischen zwei Messungen ist in Abb. A.4 bei einer Grenzfrequenz von ω 0 = 1 MHz fürverschiedene Werte von α graphisch dargestellt. Es ist zu erkennen, dass eine Verkürzungdes Zeitabstandes zwischen zwei Messungen zu einer Reduktion des Rauschens führt.2 Der Vorfaktor hängt ebenfalls von ω 0 ab, für ein ”echtes” 1/f-Rauschen mit α = 1 verschwindetdiese Abhängigkeit allerdings.