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Mechatronik und elektrische Antriebe S. 118Fig. 8-3: Frequenzgang der Kreisübertragungsfunktion Lüber der normierten Frequenz Ω = ωτσfür verschiedene Werte vonγ verschiebt sich lediglich der AmplitudengangDie Führungsübertragungsfunktion erhält man zuL(s)γ1T w ( s)= ==1+L(s)sτσ(1 + sτσ) + γ τσ1+s + sγ.Der Vergleich mit der Standardform eines PT 2 -Gliedes,()L(s)T w s = ==21+L(s)τστσs1+s + s 1+2d+γ γ ω01122τσγ2sω20(8.10)(8.11)liefert
Mechatronik und elektrische Antriebe S. 119γω 0 =(8.12)τ σ,1 1d = =(8.13)2τ σ ω 2 γ0Vorteilhafterweise bezieht man die Frequenz auf die Zeitkonstante τ σ , alsoΩ0 = ω0τσ = γ(8.14).Der noch freie Verstärkungsparameter γ beinflusst also die Dämpfung d , aber auch dieKennkreisfrequenz ω 0 bzw. Ω 0 des Führungsverhaltens. Man sieht aber, dass derRegelungsentwurf die Kennkreisfrequenz in jedem Fall im Bereich von 1 /τσplatziert, wasbedeutet, dass die mögliche Dynamik des Systems, die ja durch die Zeitkonstante τ σ begrenztwird, sehr weit ausgeschöpft wird.Die resultierenden Frequenzgänge der Führungsübertragungsfunktion sind im folgenden Bilddargestellt. Wie man gut erkennt, gewinnt man eine höhere Bandbreite auf Kosten derDämpfung bzw. der Resonanzüberhöhung bzw. des Überschwingens im Zeitbereich.Typische Dämpfungswerte wählt man zwischen 1 / 2 und 1, je nachdem, welchesÜberschwingen man zulassen möchte. Die Wahl1γ = bzw.2d=12wird als Betragsoptimum 9 bezeichnet.Die Bandbreite des Führungsverhaltens (-3 dB-Grenzfrequenz) lässt sich analytischbestimmen. Zweckmäßigerweise bezieht man die Frequenz wieder auf die Zeitkonstante τ σ :γT w ( jΩ) =2γ + jΩ− Ω(8.15)2 1Tw( jΩ b)=2(8.16)2 2 2 2 2 4 2( γ − Ω ) + Ω = γ − 2γΩ+ Ω Ω2222γ γ + jΩb− Ωb= b bb b + b= (8.17)242(1 − 2γ) Ωb + Ωb− γ = 0(8.18)9 Zum Hintergrund und zur Motivation der Namengebung sei auf die ausführliche Literatur verwiesen, siehez. B. Lutz, Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik.
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