respuesta en frecuencia de sistemas lineales, invariantes en el ...

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
2- Justificación de la Sustitución de s por jω.
Ya se ha visto que para realizar el análisis frecuencial es necesario sustituir s
por j ω en la función de transferencia. Esta sustitución será ahora justificada.
El procedimiento consistirá en trabajar con una función de transferencia
general, obteniendo primero la respuesta en el estado estable a una señal
senoidal usando la transformada de Laplace, y después haciendo la sustitución
de s por j ω .
Si ambas soluciones resultan idénticas la sustitución es válida. Se supone una
función de transferencia general con un numerador N (s)
y un denominador
D (s) .
C(
s)
N(
s)
F ( s)
= =
(1)
R(
s)
D(
s)
La señal de entrada será una senoide con amplitud igual a uno ( senω t ). La
transformada de R (s)
es:
s
2
ω
2
+ ω
; por lo tanto:
N(
s)
ω N(
s)
ω N(
s)
C( s)
= R(
s)
=
=
(2)
2 2
D(
s)
s + ω D(
s)
( s + jω)( s − jω) D(
s)
Hay que recordar que todas las condiciones iniciales pueden despreciarse porque
éstas no afectan la respuesta en el estado estable.
Desarrollando en fracciones parciales:
C(
s)
=
C
+
C
+
C
1 2
3
2
.......
( s + jω) ( s + jω) ( s + r ) ( s + r ) ( s + r )
1
+
C
2
+
+
C
n
n−2
(3)
s + , …., son factores de D (s)
. Para un sistema estable los
C3
transitorios desaparecen (o sea las transformadas inversas de … se
( s + r1)
anulan conforme t → ∞ ) y la respuesta en el estado estable es:
Donde ( s + r 1
), ( r 2
)
C
− jω
t
SS
( t)
= C1e
+
C
2
e
jω
t
Las constantes C
1
y C
2
se determinan por el método:
(4)
C
n
⎡ N(
s)
= lim
S→
r
⎢
n
⎣ D(
s)
⎤
( s + r ) ⎥⎦
n
o sea para este caso:
C
1
=
N(
s)
D(
s)
( s + r )
1
C
N(
s)
=
ω
ω
s + jω
N(
− jω)
=
( )( ) ( ) s + j s − jω
D(
− jω)
− jω
1
D(
s)
2
S =−r
S =− jω
1
∴
ω
- 4 -