Crecimiento económico: enfoques y modelos. Capítulo 2 - Pontificia ...

Félix Jiménez/ Crecimiento Económico: Enfoques y ModelosLa variable de estado es el stock de capital (k), ya que tiene una ley de movimiento y sunivel en cualquier momento del tiempo es el resultado de las decisiones tomadas sobre lavariable de control.Se plantea el Hamiltoniano en valor presente:−(β −n)t(9) H = e u[ c(t)] + v[ f ( k)− c − ( n + δ ) k]Las condiciones de primer orden serían:∂H−(β −n)t(10) = e u'(c)− v = 0∂c∂H∂k(11) = −v= v[ f '(k)− ( n + δ )](12) lim k v = 00t→ttLa variable v es llamada variable de co-estado, y se interpreta como el precio sombra de lavariable de estado expresado en valor presente.Operando la primera condición, tenemos:−(β−n)t(13) e u'(c)= vEsta ecuación nos dice que en cada instante del tiempo, el precio sombra del capital debeser igual a la utilidad marginal del consumo en valor presente. Si el precio sombra esmenor, el valor marginal del capital sería inferior al del consumo, de modo que el bienestaraumentaría si se incrementa el consumo, es decir, si se reduce la inversión. El mayorconsumo disminuiría el valor de su utilidad marginal hasta hacerla igual al precio sombra.Ocurre lo contrario si el precio sombra es mayor que la utilidad marginal del consumo. Laúnica situación de equilibrio admisible es la igualdad del precio sombra con la utilidadmarginal del consumo.Por último, la tercera ecuación es la Condición de Transversalidad. A medida que la familiarepresentativa se acerca al periodo Terminal, el valor del capital será cero (sea porque elcapital ha desaparecido o porque su valor es cero) tan pronto se llegue al horizontetemporal respecto al cual se está planificando. Sería ineficiente llegar al final con un valorde stock distinto de cero.Las condiciones de primer orden, ecuaciones (10) y (11) se pueden reformular de lasiguiente manera:(14) u'(c)= ve( β −n)t59