Crecimiento económico: enfoques y modelos. Capítulo 2 - Pontificia ...

Félix Jiménez/ Crecimiento Económico: Enfoques y ModelosNótese que esta última ecuación y la ecuación de movimiento de la variable de estado(CM2), constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal de c y de x .(24) x= w + rx − c − nx⎛ ⎞(25) c = c(r − β ) ⎜1 ⎟⎝θ⎠CM4: lim [ x(t)λ(t)] = 0t→αFinalmente, la cuarta condición de máximo es conocida como la Condición deTransversalidad. Esta condición señala que el valor de los activos de las familias, que esigual a la cantidad x (t)multiplicada por su precio sombra en valor actual, debeaproximarse a cero cuando el tiempo se aproxima a infinito. Este precio evoluciona en eltiempo de acuerdo con la ecuación λ = −( r − n ) λ . Integrando esta ecuación, se obtiene:−∫t0tλ ( ) = λ(0)e[ r(λ ) −n]dλλ(0)−θ−(β −n)(0)−θ= c(0)e = c(0)−θ−0t eλ ( ) = c(0)∫t[ r(λ ) −n]Reemplazando lo anterior en la Condición de Transversalidad (CM4), tenemos:t⎡ −θ−0lim⎢( ) (0)∫−x t c et→α⎣[ r(λ ) n]dλdλ⎤⎥ = 0⎦Esta ecuación debe cumplirse tanto si x (t)es positivo como si es negativo (o cuando hayendeudamiento). No hay endeudamiento a perpetuidad, ni familias que estén dispuestas aacumular activos a una tasa igual o mayor que r .Comportamiento de las firmasEl comportamiento de la firma está dado por:(26)α 1−αY = AK LFunción de producciónLa función de producción cual cumple con las condiciones y propiedades de una funciónneoclásica bien comportada.• Productividades marginales de los factores positivas:67