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§ 3. Morphismes et dimension 91 le theoreme de dimension des fibres (4.7), applique a la projection naturelle de C(V) — {0} sur V dont les fibres sont des droites privees de 1'origine, done de dimension 1; on peut aussi appliquer le Hauptidealsatz pour passer de 1'anneau k[Xo,..., Xn}/I(V) a 1'anneau affine k[Xi,.. .,Xn]/I(V)\, en passant au quotient par 1'element XQ — 1). On considere alors la sous-variete affine Va(f} C C(V). Elle est non vide (elle contient 0 car / est homogene) et de codimension 1 dans C(V), done elle est de dimension dimV > 0. Elle n'est done pas reduite a 0, done son image dans P n , qui n'est autre que V(f}, est non vide. Nous laissons au lecteur les deux propositions suivantes dont les demonstrations sont analogues. Corollaire 2.11. Soit V une variete algebrique projective irreductible et soient /i,..., fr G I\(V) des elements homogenes non constants. 1) Toute composante irreductible de V(/i,..., fr) est de codimension < r dans V. 2) Si on a, de plus, r < dim V, V(/i,..., fr) n'est pas vide. On a aussi des systemes de parametres homogenes : Proposition 2.12. Soit V une variete algebrique projective irreductible et soit W une sous-variete algebrique projective irreductible de codimension r. II existe des elements homogenes /i,..., fr € I\(F) tels que W soit une composante irreductible de V(/i,..., /r). 3. Morphismes et dimension a. Examples et discussion Soit (f> : X —» Y un morphisme de varietes algebriques. On suppose X et Y irreductibles (pour se ramener a ce cas on decompose Y en composantes irreductibles : Y = Y\ U Yr, puis on considere les images reciproques qui sont des fermes recouvrant X et on les decompose a leur tour, cf. 3.8 ci-dessous). Soit y un point de Y et notons (p~ l ({y}} ou plutot (p~ l (y] sa fibre. Comme {y} est ferme dans Y (exercice : pourquoi ?), la fibre est un ferme de X que Ton munit de sa structure de variete 2 . 2 Pour les problemes concernant la dimension, qui est un invariant somme toute assez grossier, la structure de variete nous suffit. En revanche pour des notions plus fines (par exemple le degre) il faudra definir sur la fibre une structure de schema, voir 1'appendice sur les schemas 4.b.
92 IV. Dimension On se propose de comparer les dimensions de X, Y et des fibres. Example 3.1. On considere la projection (f> : k n+d —> k n donnee par les n premieres coordonnees. La fibre d'un point quelconque de k n est isomorphe a k d . On a done ici la relation : Cette relation est la relation attendue, mais il convient de prendre quelques precautions. Exemple 3.2. Si Im
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Table des matieres vii VII Cohomolo
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Avant-propos Get ouvrage a pour bas
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Notations On designe par N (resp. Z
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§L Quelques objets 3 (sphere), (hy
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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§ 1. Ensembles algebriques affines
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§2. Ideal d'lin ensemble algebriqu
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§ 3. Irreductibilite 15 Demonstrat
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4. Le Nullstellensatz (ou theorems
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§ 4. Le Nullstellensatz (ou theore
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§ 5. Un premier pas vers Bezout 21
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§ 3. Lien afnne project if 31 Demo
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§ 3. Lien affine projectif 33 a. L
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§ 4. Ensembles algebriques project
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§ 6. Un anneau gradue associe a un
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Exercices 173 avec les a;(/) dans k
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4. Courbes elliptiques Exercices 17
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§ 1. Applications rationnelles 177
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§ 2. Le cas des courbes 179 £i> ,
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§ 2. Le cas des combes 181 Enfin a
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§ 3. Normalisation : la voie algeb
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des (x,y). b. Modification du plan
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Demonstration § 1. Ideaux et resol
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§ 1. Ideaux et resolutions 211 mil
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§2. Courbes ACM 213 Definition 2.3
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§ 2. Courbes ACM 219 de degre rrij
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§ 3. Liaison des courbes gauches 2
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Remarques 3.14 § 3. Liaison des co
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1. Schemas affines a. Definition §
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§ 4. Ce que cela apporte de travai
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Examen, Janvier 1993 283 5) On note
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References bibliographiques [Bbki]
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Index terminologique ACM : voir cou
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Ideal d'un ensemble algebrique affi
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Tangente 115 Transformation quadrat
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Physique Collection « Savoirs Actu
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