Introduction - index

268 Recueil de problemes
On dit que C est en bonne position si aucune droite exceptionnelle
n'est tangente a C en un point fondamental.
6) On suppose C en bonne position. Montrer que C' est aussi en bonne
position. (On pourra etudier //p/(F', Z).)
7) Montrer que si C est en bonne position et si PI ,..., Ps sont les
points non fondamentaux de C' D L on a les formules :
On dit que C est en excellente position si elle est en bonne position
et si de plus L coupe C (transversalement) en d points distincts et non
fondamentaux et si L' et L" coupent (transversalement) toutes deux C
en n — r points non fondamentaux.
Dans les questions 8), 9), 10) on suppose C en excellente position. On
appelle PI, ..., Ps les points non fondamentaux de C' H L.
8) Montrer que les points singuliers de C' sont les suivants :
a) Les points de C 1 fl U dont 1'image par Q est un point singulier de
C fl U. On montrera qu'ils ont meme nature (i.e. ordinaires ou non) et
meme multiplicite dans C et C' (cf. Fulton Probleme 3.24).
b) Les points P, P', P" qui sont des points singuliers ordinaires de C'
de multiplicites respectives d, d — r et d — r.
c) Eventuellement certains points Pz.
9) Montrer que C 1 0 L 1 et C' fl L" ne contiennent pas de points non
fondamentaux.
10) Montrer qu'on a la formule suivante sur les genres apparents :
11) Soit C — V(F) une courbe irreductible quelconque de P 2 et soit
A un point de C. Montrer qu'il existe une homographie h de P 2 telle que
h(C] soit en excellente position et que h(A) = P. (On montrera que si P
est un point de C de multiplicite r il y a une infinite de droites passant
par P qui recoupent C en d — r points distincts (cf. Fulton Probleme
5.26); on se sert de la caracteristique 0.)
On appelle transformation quadratique la composee Qh de la transformation
quadratique standard Q et d'une homographie h. C'est une
transformation birationnelle de P 2 .