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Exercice 2
Examen, fevrier 1994 287
On travaille sur un corps k algebriquement clos.
Soient n un entier > 0, R 1'anneau k[Xo,..., Xn] et P n 1'espace projectif
de dimension n sur k. Soit r un entier > 0. On considere, pour
i = 0,..., r, un polynome homogene Fi £ R, de degre di > 0. Soit
1'application /2-lineaire definie par la formule
et soit
1'homomorphisme de faisceaux associe a (f>.
1) Montrer que if) est surjectif si et seulement si V(Fo,..., Fr), sousvariete
de P n , est vide. Pour quelles valeurs de r cette condition est-elle
realisable ?
On suppose desormais r = n et ^ surjective. Soit A/" le noyau de ?/>.
2) Determiner, pour i = 0,..., n, la dimension de V(Fo,..., F,-).
3) Montrer que pour tout i verifiant 2 < z < n — I et tout o? 6 Z on a
H l (P n ,N(d}} = 0. Calculer la dimension de # n (P n , A/"(^)).
4) Montrer que les groupes H l (P n ,Af(d)) ne sont pas tous nuls et
preciser la plus petite valeur de d telle que H l (P n , Af(d)) soit non nul.
5) On suppose que Ton a Fi — X? pour tout i. Calculer la dimension
de H l (P n ,N(d}} pour tout d e Z.
Examen, fevrier 1994
La partie 5 n'est pas a trailer pour 1'examen. Le signe f indique une
question difficile.