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188 IX. Applications rationnelles, genre geometrique
en un point P, et quitte a faire un changement de coordonnees, on peut
supposer P = (0,0). L'idee de 1'eclatement, disons dans le cas d'un point
double ordinaire (par exemplepour C = V(X 3 +Y 2 —X 2 }), est de separer
les deux branches de la courbe qui passent par P en remplagant P par
deux points correspondant aux deux tangentes a C en P (cf. Fig. 1). II
faut pour cela passer dans 1'espace a trois dimensions et, en fait, modifier
le plan de telle sorte que le point P soit remplace par 1'ensemble de toutes
les directions de droites passant par P. La traduction de ce principe par
le calcul est simple : les droites passant par P sont les droites y = tx et
on considere 1'ensemble algebrique affine
C'est une surface irreductible de fc 3 , munie d'un morphisme TT : B — k 2
qui a (x,y,t) associe (x,t/), dont les fibres ir~ l (x,y) peuvent etre decrites
ainsi (cf. Fig. 1) :
1) Si x ^ 0, la fibre contient 1'unique point (x,y,y/x).
2) Si x = 0 et y ^ 0, la fibre est vide.
3) Si x = y = 0 (i.e. si 1'on est en P), la fibre est la droite L (dite
exceptionnelle) formee des points (0,0, t] pour t G k.
On dit que (B,ir} est 1'eclatement du plan au point P.
On notera que si B' (resp. U] est 1'ouvert de B (resp. de k 2 } defini
par x 7^ 0, TT induit un isomorphisme de B' sur U dont la reciproque est
donnee par (x,y) >—> (x,y,y/x).
L'image reciproque de C = V(X 3 + Y 2 — X 2 } par TT est 1'ensemble
des points (x, j/, t] soumis aux deux relations y = tx et x 3 -f y 2 — x 2 = 0,
ou encore a y = tx et x 2 (x + t 2 — 1) = 0. On voit que 7r~" 1 ((7) est reductible
et se decompose en la droite L definie par x — y — 0 et en une
courbe C 1 d'equations y = tx et x +1 2 — 1 = 0. Cette courbe s'appelle la
transformee stride de C et elle est lisse. II suffit pour le voir de projeter
B sur le plan des (x,t) par TT' : B —> k 2 (c'est un isomorphisme de reciproque
(x, t) H-¥ (x, xt, t)), et C' est isomorphe par cette projection a la
courbe plane C" = V(X + T 2 — 1) qui est lisse (c'est une parabole). La
courbe C' (ou aussi C"} est bien une desingularisee de C car TT : C' —» C
est birationnel. On note qu'au-dessus de P on a deux points de C' correspondant
aux deux tangentes a C en P : (0,0, .
En fait, dans la suite, on va oublier la surface B et considerer directement
la transformation $ = TTTr'" 1 qui va du plan des (x,£) dans celui