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§ 1. Ideaux et resolutions 205
deux quadriques d'equations XT — YZ = Y 2 — XZ, leur intersection est
reunion de la cubique C et de la droite D = V(X, Y). On dit alors que C
et D sont liees par les quadriques en question. La courbe C, si elle n'est
pas elle-meme une intersection complete, est done liee a une intersection
complete. Dans ce qui suit nous allons etudier cette operation de liaison
et caracteriser les courbes qui, comme (7, sont liees (eventuellement en
plusieurs etapes) aux intersections completes. Cette caracterisation se
fera a la fois en termes cohomologiques et en termes de resolutions.
1. Ideaux et resolutions
Dans ce paragraphe R designe 1'anneau des polynomes fc[Xo,..., Xn].
a. Sous-schemas de P n
Meme si on s'interesse essentiellement aux varietes (et notamment aux
courbes lisses), 1'utilisation de la notion de liaison necessite de travailler
avec des schemas. En efFet une courbe lisse peut etre liee a une courbe
singuliere, voire non reduite (cf. Exemples 2.7). Le lecteur se reportera
a 1'appendice sur les schemas et aux references qui s'y trouvent pour
des precisions concernant cette notion. Rappelons simplement ici que si
/ est un ideal homogene de R et si S = R/1 est I'anneau quotient, on
definit le sous-schema ferme X = Proj (S) de P n = P£ comme 1'espace
annele (X.i@x} dont 1'espace sous-jacent X 1 est le sous-espace ferme
V(I} de P n , muni de la topologie de Zariski et dont le faisceau d'anneaux
est donne, sur la base d'ouverts standard D + (f) de 2C, en posant
T(D + (f},Ox) = S(f) (cf. Ill, 8.1). Si i designe 1'injection de X dans P n ,
le faisceau i*Ox n'est autre que S. Si / n'est pas radical, ces anneaux
ne sont pas necessairement reduits, contrairement a ceux de la variete
V(I] (pour laquelle, cf. Ill, 8.a, on prend pour I 1'ideal I(X_) de toutes
les fonctions polynomials nulles sur X_).
Soit J — I le faisceau associe a 1'ideal /. C'est un faisceau d'ideaux de
Opn et la definition du faisceau d'anneaux Ox montre qu'on a la suite
exacte :
de sorte qu'il est conforme a III, 6.10 de poser J = Jx- On dit que Jx
est le faisceau d'ideaux qui definit le schema X — Proj (R/'/).
^n fait, on notera souvent, abusivement, de la meme maniere le schema X et
1'espace topologique sous-jacent X_.