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§L Espaces tangents 105 F(V) —> k — F(P) revient done a la donnee d'un morphisme, qu'on notera simplement x : P —» V : on envoie le point etalon dans V. Une deformation de V c'est la meme chose, mais en remplac,ant le point etalon P par le point epaissi 1 Pt (qu'on note aussi Specfc[e]). Ce point epaissi n'est pas ime variete (c'est notre premier schema!), il s'agit de 1'espace annele forme la encore d'un unique point, mais avec cette fois F(P£) = k[e] : on a des fonctions non constantes, dont le nilpotent e, et 1'anneau n'est pas reduit, contrairement a la situation des varietes. On a un morphisme evident i : P —> Pt qui correspond sur les anneaux a la projection p : k[e] —* k qui envoie e sur 0. Definition 1.1. Soit V une variete algebrique affine et x 6 V. Une deformation 2 de V en x est un morphisme d'espaces anneles t : Pc —* V (au sens de III, 1.9. b) tel que Von ait ti = x. (Autrement dit, ensemblistement, Pe s'envoie sur x.) On note Def (V, x) 1'ensemble des deformations de V en x. II revient an meme de se donner un homomorphisme de k-algebres t* : T(V] —> k[t] avec pt* = \x- Un tel homomorphisme sera appele deformation de T(V) en x. Leur ensemble sera note Def (T(V),x). Considerons une telle deformation de r(V). Vu la condition pt* = Xx elle s'ecrit t*(f) = f(x) + evt(f) avec vt(f} G k. La deformation t* definit done une application vt '. F(V) —> k qui lui est liee par la formule t* — Xx + cvt. Le fait que t* soit un homomorphisme d'algebres se traduit pour vt par le fait que vt est lineaire et, pour la multiplication, en tenant compte de e 2 = 0, par la formule : On introduit alors la definition suivante : Definition 1.2. Soit A une k-algebre et soit M un A-module. Une application D : A —> M est appelee une derivation si elle verifie : 1) D est k-lineaire, 2) pour tous a, b 6 A on a D(ab) = aD(b] + bD(a). L'espace des derivations de A dans M est note Derjfc(A,M). C'est un fc-espace vectoriel. On notera que si A £ k on a D(\) = 0 (calculer : I1 s'agit ici du point epaissi dans une seule direction. On pourrait aussi avoir des epaississements multidimensionnels en rempla^ant par exemple k[c] par k[X,Y]/(X 2 ,Y 2 ). 2 En fait, il serait plus correct de parler de deformation infinitesimale.
106 V. Espaces tangents, points singuliers D(l 2 )). Un exemple evident de derivation est fourni par 1'application F H-> dF/dXj de k[X\,..., Xn] dans lui-meme. Exemple et definition 1.3. Soit V une variete algebrique affine et soit x 6 V. Prenons A = F(V) et M = k, considere comme r(V)-module au moyen de Xx ' si f € F(V) et A 6 k, on pose /.A = f(x)X. Une derivation de F(V) dans k est done une application k-lineaire v : F(V) —» k qui verifie, pour /, g e F(V) : v(/ W un morphisme de varietes algebriques afRnes et soit x € V. On pose y>(x) = y. L 'application
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Table des matieres vii VII Cohomolo
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Avant-propos Get ouvrage a pour bas
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Notations On designe par N (resp. Z
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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§ 1. Ensembles algebriques affines
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4. Le Nullstellensatz (ou theorems
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§ 5. Un premier pas vers Bezout 21
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§ 3. Lien afnne project if 31 Demo
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§ 3. Lien affine projectif 33 a. L
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§ 6. Un anneau gradue associe a un
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§2. Le faisceau structural d'un en
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1. Schemas affines a. Definition §
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Problems IX 269 12) Prouver le theo
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References bibliographiques [Bbki]
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Index terminologique ACM : voir cou
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Ideal d'un ensemble algebrique affi
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Tangente 115 Transformation quadrat
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Physique Collection « Savoirs Actu
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