Introduction - index

4. Courbes elliptiques
Exercices 175
Le but de 1'exercice est de montrer que toute courbe de genre 1 est
isomorphe a une cubique plane.
On suppose le corps de base k de caracteristique differente de 2. Soit
C une courbe projective lisse irreductible de genre 1, soit PQ € C et
C' = C- {P,}.
1) Montrer que Ton a, pour n € N*, h°Oc(nP0) = n.
2) Montrer qu'on peut trouver re, y 6 K(C} telles que 1, x (resp. 1, x, y)
soit une base de H 0 OCC2P0) (resp. de H°Oc(3Po)) sur k.
3) Montrer que les quantites 1, a;, y, x 2 , xy, y 2 , x 3 sont lineairement dependantes
sur k. Soit P(x,y} la relation de dependance. Montrer que les
coefficients de y 2 et de x 3 dans P sont non nuls.
4) Montrer que quitte a changer de base on peut supposer que P(x, y)
est de la forme y 2 — x(x — l)(x — A) avec A ^ 0,1. (On commencera
par eliminer les termes en y et xy en faisant apparaitre le debut d'un
carre, puis, par une transformation affine de /c, on ramenera les racines
du polynome du troisieme degre obtenu a avoir ses racines en 0,1, A.)
5) On considere 1'application (p : C 1 —» k 2 qui a P associe x(P),y(P}.
Montrer que (p est un isomorphisme de C' sur la courbe affine d'equation
y 2 = x(x — l}(x — A).
6) Montrer, en utilisant IX, 2.4, que C est isomorphe a la courbe de
P 2 d'equation Y 2 T - X(X - T)(X - XT).
Pour des precisions concernant la vaste et belle theorie des courbes
elliptiques, cf. [H] II, 6.10.2 et IV, 4 (et les references qui y figurent) ou
[F] V, 6 et VIII.