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242 Memento d'algebre
Lorsque n est egal a 1 n'importe quel element de L — K est une base de
transcendance.
3) Si A = K[X,Y]/(F) avec F non constant en Y et si L = Fr(A),
on voit aisement que si x est 1'image de X dans A, {x} est une base de
transcendance de L sur K.
c. A utres resultats
On a un certain nombre de resultats analogues au cas lineaire.
Theoreme de la base incomplete. Si x\,... ,xn est une partie libre
de L sur K on peut la completer en une base de transcendance. On a
done n < ##(£).
Inversement si.x\,... xn est generatrice (au sens ci-dessus : L est algebrique
sur K(x\^..., xn), a fortiori si L est egal a K(x\,..., xn)) on peut
en extraire une base de transcendance. On a done n > d#(L).
Bien entendu, dans les deux cas, 1'egalite ne peut intervenir que si les
parties sont a la fois libres et generatrices.
Si on a trois corps K C L C M, on a d/r(M) = dK(L} + di(M)
(prendre la reunion des bases de transcendance).
4. Quelques exercices d'algebre
4.1. Exercices sur les ideaux premiers
a) Soit A un anneau et soit p un ideal premier de A. On suppose que
p contient le produit I\ In de n ideaux. Montrer que p contient 1'un
des Ik.
b) (Lemme d'evitement des ideaux premiers.)
Soient A un anneau, / un ideal. On suppose que / est contenu dans la
reunion piU- -Upn de n ideaux premiers de A. Montrer que / est contenu
dans 1'un des pfc. (Raisonner par 1'absurde en supposant n minimal et
considerer un element bien choisi de la forme ai 4- a2 an.)
4.2. Nilradical et ideaux premiers
Soient A un anneau et N son nilradical (cf. 2.d).
a) Montrer que TV est un ideal et qu'il est contenu dans 1'intersection
/ de tous les ideaux premiers de A.