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§ 3. Liaison des courbes gauches 229
(ou composantes) immerge(e)s qui jouent un role tout a fait analogue a
celui des composantes ponctuelles comme on va le voir.
Definition 3.18. Soit C une courbe de P 3 et soit x 6 C un point (non
isole). On note Oc,x 1'anneau local de C en x et mc,x son ideal maximal.
On dit que x est un point immerge de C s'iJ existe a € Oc,x, a 7^ 0? tel que
1'annulateur de a soit 1 'ideal mc,x. (On dit que mc,x est un ideal premier
associe de Oc,x, cf. [Bbki] AC IV ou [Pes] §3. Dans un anneau reduit
seuls les ideaux premiers minimaux, qui correspondent aux composantes
irreductibles, sont associes.)
Exemple 3.19. Soit C = Proj k[X,Y,T]/(XY,X 2 ). Cette courbe plane
est 1'intersection de deux courbes : V qui est la reunion des droites X = 0
et Y = 0 et W qui est la droite double X 2 = 0. Ensemblistement la
courbe C est reduite a la droite X = 0, mais avec un point singulier en
(0,0,1). Ce point est immerge sur C. En effet on voit aussitot que 1'ideal
maximal (x,y) est 1'annulateur de y. On notera que C n'est pas reduite
(x 2 — 0) mais que C— {(0,0,1)} 1'est, de sorte que les nilpotents de C sont
concentres au point immerge. On peut encore comprendre cela en notant
que 1'ideal (XY, X 2 ) est intersection des ideaux (X] et (X 2 ,Y) done C
est union schematique de la droite X = 0 et du point double d'equations
(X 2 ,V) qui, schematiquement, n'est pas contenu dans la droite et joue
done le role d'une composante ponctuelle supplementaire.
Cette composante immergee apparait aussi comme "limite" d'une
vraie composante ponctuelle. Considerons en effet le schema C\ defini
par 1'ideal (XY, X(X — AT)) avec A € k. Pour A ^ 0 ce schema est la
reunion disjointe de la droite X = 0 et du point isole (A, 0,1). Pour A = 0
on trouve C qui est done la position limite de CA, le point immerge etant
la limite du point isole.
Enfin, si on lie (algebriquement) la courbe C (resp. CA), considered
comme courbe de P 3 en rajoutant 1'equation Z = 0, par les surfaces
XY, Z, on trouve dans les deux cas F d'ideal Ip = (Y,Z}. Si on lie
maintenant F par les memes surfaces on trouve non pas C ou C\ mais
la courbe X = Z = 0, autrement dit la double liaison a oublie le point
immerge ou isole. On voit sur cet exemple que, sans 1'hypothese de 3.15
sur les courbes (pas de composante ponctuelle, immergee ou non), 1'operation
de liaison n'est pas symetrique en general.