Introduction - index

4. Le Nullstellensatz (ou theorems des zeros de Hilbert) 17
k est algebriquement clos.
Cette hypothese permet d'eviter que les ensembles algebriques affines
soient trop petits. Ainsi le lecteur verifiera sans peine (i.e. sans utiliser
le Nullstellensatz!) que si F € k[X\,... ,Xn] n'est pas constant Fhypersurface
V(F) est infinie (si n > 2). Le resultat suivant est de la meme
veine :
Theoreme 4.1 (Nullstellensatz faible). Soit I C k[Xi,... ,Xn] un ideal
distinct de k[X\,..., Xn}. Alors V(I] est non vide.
Demonstration. La demonstration qui suit est valable lorsque k n'est
pas denombrable (par exemple si k = C). Pour une demonstration dans
le cas general (cf. Probleme HI/4).
Quitte a plonger 7 dans un ideal maximal ra, on peut supposer / maximal.
Soit K = k[Xi,..., Xn]/I le corps residuel. Comme k[X\,..., Xn]
est un espace vectoriel de dimension au plus denombrable sur k il en est
de meme de K. On a alors le'lemme suivant :
Lemme 4.2. Soit k un corps algebriquement clos non denombrable et
soit K une extension de k de dimension au plus denombrable. Alors, on
aK = k.
Demonstration (de 4.2). II suffit de montrer que K est algebrique sur
k. Sinon, il contiendrait un element transcendant done un sous-corps
isomorphe au corps des fractions rationnelles k(T). Mais ce corps contient
la famille non denombrable des 1/(T — a), a € k et cette famille est libre :
si nn a imp rplatinn
en multipliant par T — o^ et en faisant T = a; on trouve bien Aj = 0.
Revenons a 4.1 en consider ant les images ai,..., an des Xi dans K =
k. Alors, si P(Xi,..., Xn) 6 / on a P(a\,..., an) — 0, autrement dit le
point (ai,..., an) de k n est dans V(/), cqfd.
Pour formuler le Nullstellensatz, on introduit la ratine d'un ideal /
de 1'anneau A qui est F ideal