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§ 2. Diviseurs sur une courbe, Riemann-Roch 2 167 Revenons a 2.7. On a VP(U) = vp(G\>] — vp(H\,} et, d'apres le lemme, vp(G\>] = dim(9p/(F(>,Gb). On reconnait la multiplicite d'intersection /xp(Fb,Gi,) = /xp(F, G) des courbes F et G en P. On a ainsi mais d'apres le theoreme de Bezout chacune des deux sommes est egale a nd, done la difference est nulle. II reste 1'assertion sur les fonctions sans poles. Soit / G K(C\ non nulle et sans pole (i.e. telle que div (/) soit > 0) et soit P € C. Alors, comme / 6 OC,P il existe un representant de / defini sur un voisinage affine de P. Mais, par definition d'une fonction rationnelle, ces representants se recollent, done defmissent une fonction reguliere. On notera qu'alors / est une constante, done que div (/) = 0. Remarque 2.9. L'ensemble P(C} des diviseurs principaux de C est un sous-groupe de Div C. Deux diviseurs qui different d'un diviseur principal sont dits equivalents. Le groupe quotient Div CfP(C} s'appelle le groupe des classes de diviseurs ou groupe de Picard de C, et il est note PicC. Vu 2.7, rhomomorphisme degre se factorise par le groupe de Picard. Son noyau est appele la jacobienne de C et note Pic° C. C'est un invariant essentiel de la courbe C. c. Le faisceau inversible associe a un diviseur Soit C une courbe projective lisse et irreductible. Nous allons associer a tout diviseur D sur C un faisceau sur C note Oc(D) (ou parfois £(D)}. Pour comprendre d'ou vient ce faisceau, etudions d'abord le cas d'un diviseur D = £ npP > 0. On peut associer a ce diviseur un sous-schema ferme fini de C, note encore .D, dont le support est forme des points P tels que Tip > 0 et qui est tel qu'en chaque point la multiplicite de D comme schema fini soit exactement np : il suffit pour cela de prendre comme anneau local de D en P 1'anneau Oc,p/(n np } (cf. 2.8). On a alors UP = [ip(D). Reciproquement, un sous-schema fini X de C definit le diviseur Evp(X)P. On note qu'on a h°OD = \OD = Ep t^p(D) = £pnp = deg£>. Si D est un diviseur > 0 on a alors la suite exacte : ou JD/C es t 1'ideal des fonctions qui s'annulent sur D (avec les multiplicites prescrites). On note ce faisceau Oc(—D) et ses sections sur un
168 VIII. Genre arithmetique des courbes ouvert U de C sont simplement les fonctions rationnelles sur C, definies sur U et qui s'annulent en chaque point P avec la multiplicity np au moins : (Comme les UP sont > 0 ceci impose deja / G T(U, Oc)-) Soit maintenant D un diviseur quelconque. Le faisceau Oc(D) est defini de maniere tout a fait analogue, en changeant les signes : Attention, cette fois les fonctions ne sont pas definies partout sur t/, elles peuvent avoir des poles correspondant aux np < 0, mais, en P, 1'ordre du pole doit etre < — np : on considere des fonctions rationnelles dont les ordres des poles et des zeros sont controles par le diviseur D. Remarques 2.10 0) Si D = 0 on verifie aussitot qu'on a Oc(D) = Oc- 1) On s'interesse surtout aux sections globales du faisceau Oc(D) qu'on peut decrire ainsi : (En particulier, un diviseur D est equivalent a un diviseur > 0 si et seulement si le faisceau Oc(D) a des sections globales non nulles.) L'objet du theoreme de Riemann-Roch sera de calculer la dimension h°(C,Oc(D}} de cet espace. On note deja avec cette formule que si degD < 0, on a r(C, OC(D)) = 0. En effet, si / ^ 0, on a degdiv (/) + deg£> = degD en vertu de 2.7 et ce degre devrait etre > 0, ce qui est absurde. 2) Si D et D' sont equivalents, i.e. si on a D' = D + div (#), on a un isomorphisme des faisceaux associes 3) Supposons C C P r , soit H un hyperplan ne contenant pas C et soit D = Cr\H le sous-schema fini intersection (cf. 1). On peut considerer D comme un diviseur > 0 sur C. Alors, le faisceau Oc(D] n'est autre que C?c(l) : soit U ouvert de C, une section de C?c(l) sur U est une fraction / = A/B avec A, B € T/l(C f ) homogenes, deg A = deg B +1 et B ^ 0 sur U (attention ce n'est pas une fonction rationnelle). On lui associe la section f/H = A/BH qui est une fonction rationnelle dont les poles sont les points de C n H = D qui sont dans U avec les multiplicites voulues : c'est
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Table des matieres vii VII Cohomolo
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Notations On designe par N (resp. Z
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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§ 1. Ensembles algebriques affines
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§ 6. Un anneau gradue associe a un
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0. Motivations Chapitre III Faiscea
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§2. Le faisceau structural d'un en
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Exercices 99 Demonstration (de 4.5)
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et les trois droites (dites excepti
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Partiel, decembre 1991 273 avec ..
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Physique Collection « Savoirs Actu
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