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§1. Multiplicites d 'intersection 123
Reciproquement, si Z est fini, 1'anneau F(Z) qui est 1'anneau reduit
associe a R/I est de dimension finie d'apres I, 4.8. Par ailleurs, la formule
de 3) appliquee a / = 1 montre que R/I est produit d'anneaux locaux,
done aussi r(Z"), mais pour ce dernier les anneaux locaux sont tous egaux
a k (cf. 1.2). Les anneaux locaux de R/I ont done leur ideal maximal
nilpotent et on est ramene a prouver le lemme suivant :
Lemme 1.7. Soit A une k-algebre locale d'ideal maximal m et de corps
residue] k. On suppose qu'on a m n = 0. Alors, A est de dimension finie
sur k.
Demonstration. II suffit de considerer la suite de sous-espaces vectoriels
:
et de noter que les quotients ra* /ra* +1 sont tous de dimension finie sur
k = A/m (car les ideaux m l sont de type fini).
Revenons au point 4). Le fait que i+Oz soit egal a T vient de 3);
enfin, dire que (Z, Oz] est un schema fini revient a voir que les anneaux
locaux Ox,x/IOx,x sont de dimension finie sur k et cela resulte de la
finitude de R/I.
Remarque 1.8. Le faisceau d'anneaux Oz defini ci-dessus est ce qu'on
appelle 1'image reciproque du faisceau T par 1'application i et il est note
«w
Revenant a la situation etudiee au debut du paragraphe b), on peut
particulariser 1.6 et definir la structure de schema fini sur V(F, G) comme
suit :
Proposition-definition 1.9. Soient F, G € k[X, Y] sans facteur commun
et Z rensemble fini V(F,G). On pose R = k[X,Y] et I = (F,G).
On munit Z d'une structure d'espace annele en definissant Oz comme en
1.6 (Oz — i*(R/I] avec la notation de 1.8). Alors, (Z, Oz) est un schema
fini. L'anneau local OZ,P en P € Z est egal a O^,p/(F, G) et on a :
de sorte que