Introduction - index

238 Memento d'algebre
1.8. Pour changer : un peu de topologie
Solent X un espace topologique et U une famille d'ouverts de X. On
dit que U est une base d'ouverts de X si tout ouvert de X est reunion
d'ouverts de la famille U.
Soit X un espace topologique. On dit que X est quasi-compact si de
tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un sous-recouvrement
fini. (C'est la compacite sans la separation.)
2. Produits tensoriels
2.1. Definition : cas des modules
Soient A un anneau et M, N deux A-modules. Le produit tensoriel de
M et N sur A est un A-module, note M ®A N (voire M N lorsqu'il
n'y a pas de risque de confusion) et engendre par les symboles x y
avec x € M et y G N (cela veut dire qu'un element de M ®A N est une
combinaison lineaire finie ^a^Xi j/i) a coefficients dans A), avec les
regies de calcul suivantes : (x + x'}®y — x(&y + x'®y et la meme relation
en echangeant les roles de x et y, (ax) y = x (ay) = a(x y), pour
a e -A, x 6 M et y € N.
II n'est pas necessaire de savoir comment on construit cet objet.
En revanche il faut avoir compris qu'il possede la propriete universelle
suivante :
Si on a une application ^4-bilineaire / : M x N —> P entre des Amodules,
il existe une unique application A-lineaire f : M ®A N —> P
qui verifie f(x ®y)~ f(x, y).
2.2. Proprietes
On rappelle qu'un A-module M est dit libre s'il a une base (exactement
comme pour les espaces vectoriels, la difference est que les modules ne
sont pas tous libres).
Proposition 1. Si M et N sont des A-modules libres de bases (ei) avec
i € / et (/j) avec j e J, MN est libre de base e; ® fj avec («, j) € / x J.
C'est Je cas en particulier si A est un corps.
Le produit tensoriel est fonctoriel; ceci signifie que si on a un homomorphisme
/ : M -> M ; , on en deduit f ® Id : M ® N -> M' N