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et les trois droites (dites exceptionnelles)
Problems VIII 267
Ces trois droites forment un triangle dont les sommets sont les points
fondamentaux. On appelle U 1'ouvert U = P 2 - V(XYZ) de P 2 .
Si F est un polynome homogene de P 2 et S un point de P 2 on note
//s(F) la multiplicity de F en S. Si F et G sont deux polynomes homogenes
et 5 un point de P 2 on note Ms(F, G] la multiplicity d'intersection
des courbes d'equations F et G en 5. Enfin on appelle genre apparent
d'une courbe C — V(F) de degre d Fentier
On rappelle que, si C est irreductible, on a g*(C) > 0 (cf. Exercices VI).
On definit 1'application Q : P 2 - {P, P', P"} -> P 2 par la formule
Q(x,y,z) = (yz,zx,xy). Cette application est la transformation quadratique
standard de P 2 .
1) Montrer que Q est un morphisme de varietes (done une application
rationnelle de P 2 dans lui-meme). Pourquoi faut-il restreindre 1'ensemble
de depart ?
2) Montrer que sur I'ouvert U, Q est involutif (i.e. Q 2 = Idj/). En
deduire que Q est birationnel sur P 2 . Preciser 1'image des droites exceptionnelles
et 1'image de Q.
On considere une courbe projective irreductible C V(F) C P 2 , de
degre d. On suppose que C n'est pas 1'une des droites exceptionnelles.
On appelle C' Fadherence dans P 2 de Q~ l (C n U).
3) Montrer que C' est une courbe projective irreductible birationnellement
equivalente a C et qu'on a (C")' = C.
4) On pose F Q (X1 Y, Z) = F(YZ, ZX, XY). On suppose fiP(C) = r
(resp. //p'(C) = r', resp. /zp^(C) = r"). Montrer que Z r (resp. F r/ , resp.
X r "} est la plus grande puissance de Z (resp. Y, resp. X) qui divise F^.
On pos(
5) Montrer que F' est un polynome homogene de degre Id—r — r' — r".
Montrer que Ton a ^p(C'} — d — r' — T" et les formules analogues en P'
et P". Montrer que Ton a (F'}' = F, que F' est irreductible et qu'on a
C' = V(F').