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120 VI. Le theoreme de Bezout
duit done /A est egal a 1'ideal I(C n D\) et la variete C n D\ a pour
anneau A\. Elle est formee de deux points distincts avec en chacun de
ces points 1'anneau local k.
b) A = 0 : Z)0 est tangente a C. On a A0 = k[X]/(X 2 ) = k[e] (1'anneau
des nombres duaux). Ici le quotient n'est pas reduit et done I(Cr\D0) est
la racine de 70, c'est-a-dire 1'ideal (X, Y}. La variete Cr\D0 est un point,
avec 1'anneau local k. Bien entendu pour comprendre la multiplicite 2
de 1'intersection de D0 avec C il faut se garder de faire ce passage a la
racine car c'est 1'ideal /0 = (Y, X 2 ), limite des I\ quand A tend vers 0,
et non sa racine, qui contient I'lnformation souhaitee. La solution est
de definir C fl D0 non pas comme une variete, mais comme un schema,
c'est-a-dire, ici, de munir 1'unique point P — (0, 0) de Cr\DQ de 1'anneau
T(P) = k[X]/(X 2 } = k[e] et non de k. On a alors en P une "fonction"
inhabituelle, non nulle, mais nilpotente, e. Tout ceci nous mene a la definition
suivante :
Definition 1.1 (schema fini). Un schema fini (Z,OZ) est un espace annele
ou Z est un ensemble fini discret et ou, pour chaque point (ouvert)
P G X, 1'anneau Oz({P}} est une k-algebre locale de dimension finie
comme k-espace vectoriel (i.e. une k-algebre finie). Cette dimension est
appelee multiplicite de Z au point P. On la note fip(Z).
Remarques 1.2
1) L'anneau Oz({P}) est aussi 1'anneau local de Z en P, OZ,P (au
sens de III, 5.1).
2) L'anneau OZ,P a pour unique ideal premier son ideal maximal rap
(en effet, si I est un ideal premier, le quotient est integre et de dimension
finie sur k done un corps, done / est maximal et c'est rap). II en resulte
que rap est le nilradical de OZ,P (cf. Memento 1.2.d) done ses elements
sont nilpotents et, comme il est de type fini, rap lui-meme est nilpotent,
i.e. il existe un entier n tel que rap = 0.
3) Une variete finie est un schema fini ou tous les anneaux locaux sont
egaux a k, done ou tous les points sont de multiplicite 1.
Proposition 1.3. Soit (Z,OzJ un schema fini. On a, pour toute partie
V de Z : F(V, Oz] — Hp^v @z,p- Reciproquement si on se donne, en
chaque point d'un ensemble fini Z, une k-algebre locale finie, la formule
ci-dessus definit sur Z une structure de schema fini.