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§ 4. La cohomologie des faisceaux Opn(d) 147
revient a compter les monomes de degre — d— (n + 1) en les indeterminees
(-d- l\
l/Xi et il y en a done ( I.
\ n J
Dans le cas particulier d = —n — I 1'espace H n (P n ,Opn(—n — 1))
est de dimension 1 avec pour base 1'image du monome l/(Xo 'Xn). Si
on identifie cet espace au corps de base on a une forme bilineaire non
degeneree :
qui associe aux monomes XQ° - X% n et XQ° - X% n avec £=0 a i — d
et E?=o A = -d-n-l 1'image du monome X£ 0+/ n+0n
*°
dans
H n (P n , Opn(—n — 1)). Comme 0,
M'(fi = M',ft-^M(f)-^M"f\ le complexe obtenu en prenant les elements
homogenes de degre 0 du localise et H(M'^) son groupe de cohomologie.
Alors on a H(M'^} = H(M')^.
Le lemme montre que les groupes de cohomologie de C'/XQ\ s'obtiennent
par localisation a partir de ceux de C' : H p (C(Xo)} — H p (C'\x0)-
Par ailleurs, on sait (cf. Ill, 8.5), qu'on a, via 1'operation bemol, un
isomorphisme S(x0) — R = k[Xi,... ,Xn] = T(D + (Xo), Opn) et cet isomorphisme
induit des isomorphismes sur les localises : (SxiQ-xip)(x0) —
fix* -Xi ( en remplagant eventuellement XQ par 1); autrement dit le
complexe C(Xo) es t isomorphe au complexe de Cech C'' du faisceau JF
restreint a D + (XQ), relatif au recouvrement (affine) de cet ouvert par les
D + (Xi) n D + (X0), pour i = 0,..., n.