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0. Introduction
Chapitre VI
Le theoreme de Bezout
II s'agit d'expliquer que deux courbes planes de degres s et t ont
exactement st points d'intersection. On a vu dans 1'introduction qu'il
convenait pour cela de prendre quelques precautions :
1) supposer les courbes sans composantes communes,
2) supposer le corps de base k algebriquement clos,
3) travailler dans le plan projectif,
4) compter les intersections avec des multiplicites.
II reste a traiter ce dernier point. Comme il s'agit d'une notion locale
nous travaillerons d'abord en affine.
1. Multiplicites d'intersection
a. Schemas finis
Commengons par analyser un exemple tres simple.
On coupe laparabole C = V(Y — X 2 } par la droite D\ = V(Y — A). La
variete intersection est C fl D\ = V(Y — X 2 , Y — A). Considerons 1'ideal
/A — (Y — X 2 , Y — A) = (Y — X,X 2 — A) et calculons 1'anneau quotient
A\ — k[X,Y\j!\. En envoyant Y sur A on voit deja qu'il est isomorphe
a k[X]/(X 2 — A) et on distingue deux cas :
a) Si A ^ 0, posons A = a 2 . Alors A\ est isomorphe a 1'anneau produit
k x k par Phomomorphisme qui a X associe (a, —a}. Get anneau est re-