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§ 1. Degre et genre d'une courbe projective, Riemann-Roch 1 155
priete d'additivite on se ramene, en utilisant la suite exacte de cohomologie,
au lemme suivant que le lecteur sagace prouvera par recurrence sur
n a partir de la relation bien connue entre les dimensions du noyau et de
1'image d'une application lineaire :
Lemme 0.1. Considerons une suite exacte de k-espaces vectoriels :
alors on a
Le celebre theoreme de Riemann-Roch pour les courbes, dans sa forme
faible, n'est rien d'autre qu'un calcul de caracteristique d'Euler (dans sa
forme plus consistante il met en jeu, en plus, un theoreme de dualite).
Pour un enonce plus general du theoreme de Riemann-Roch (i.e. toujours
un calcul de caracteristique d'Euler, mais cette fois en termes de classes
de Chern) on se reportera par exemple a [H] Appendice A.4.1.
1. Degre et genre d'une courbe projective,
Riemann-Roch 1
a. La theorie
Soit C C P N une courbe (c'est-a-dire une variete algebrique de dimension
1), projective et irreductible. Nous poserons S — k[X0,..., XN]
et A = r/i(C) = S/I(C). L'anneau A est un anneau gradue integre et le
faisceau associe A n'est autre que Oc- Notre objectif est de calculer la
caracteristique d'Euler x(@c(n)} ~ h°Oc(n) — h l Oc(n) pour tout n e Z
(on notera que les h l pour i > 2 sont nuls car C est de dimension 1).
La methode, qui est 1'une des techniques standard de la geometric projective,
consiste a etudier la section de la courbe par un hyperplan assez
general.
Proposition 1.1. Soit H un hyperplan ne contenant pas C. On note h
son equation et h 1'image de h dans A. La multiplication par h dans A
induit alors la suite exacte de S-modules gradues :
Demonstration. La seule chose a verifier est 1'injectivite de la multiplication
par h. Comme A est integre cela resulte du fait que C