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22 I. Ensembles algebriques afnnes
Demonstration. On commence par prouver le lemme suivant :
Lemme 5.3. Sous les hypotheses de 5.1 il existe un polynome d G k[X]
non nul et des polynomes A, B G k[X, Y] tels que Von ait d = AF + BG.
(Autrement dit d G (F,G).)
Demonstration (de 5.3). Le lecteur en ecrira les details : il suffit d'appliquer
le theoreme (elementaire) de Bezout dans 1'anneau principal fc(X)[F]
et de chasser les denominateurs.
Montrons alors 5.1. Si (x,y) G V(F) n V(G) on a, avec 5.3, d(x) = 0
done un nombre fini de x possibles. Le meme raisonnement applique a y
montre que 1'intersection est finie.
Pour 5.2 on fait un raisonnement analogue, mais cette fois avec les
images des monomes X 1 Y^ dans 1'anneau quotient : grace a 5.3 on voit
qu'un nombre fini de ces monomes engendrent k[X, Y]/(F, G}.
Remarque 5.4. Parmi les polynomes d(X) qui conviennent dans le lemme
5.3 il y a le resultant de F et G, considered comme polynomes en Y. Si
F et G sont de degres p et q on peut montrer que le degre du resultant est
< pq et en deduire, au prix d'une petite astuce, que \V(F) fl V(G}\ < pq,
ce qui est une partie du theoreme de Bezout.
6. Les morphismes : une premiere approche
Dans ce paragraphe on suppose le corps k infini (par exemple algebriquement
clos).
Nous sommes maintenant en possession d'objets : les ensembles algebriques
amnes. Mais plus encore que ces objets, ce sont les morphismes
qui vont permettre de preciser les contours de la theorie. C'est en effet
un principe maintenant bien etabli en mathematiques que les memes
objets (par exemple nos ensembles algebriques amnes, disons dans le cas
k — C) peuvent donner lieu a des ineories totalement distinctes selon
les morphismes que Ton autorise entre eux, par exemple les applications
continues, ou differentiables au sens reel, ou analytiques, ou polynomiales.
On fera alors respectivement de la topologie, de la geometric differentielle,
de la geometric analytique, ou de la geometric algebrique.
Dans le cas present ce sont bien entendu les applications polynomiales
qui vont etre retenues, precisement :