Introduction - index

§ 2. Courbes ACM 219
de degre rrij. On a done : Le module E v est libre lui
aussi, precisement on obtient une base de E v en prenant la base duale
el,... ,e*s defmie par e*(e;) = 6ij ou 8^ est le symbole de Kronecker, et
le degre de e* est alors — rrij, de sorte que Ton a
L'operation de dualite est fonctorielle et contravanante : si on a un
homomorphisme u : E —> F, homogene de degre 0, on en deduit un
homomorphisme en sens inverse i u : E v —» F v , appele transpose de u et
defmi par la formule t u(f) ~ fu. Get homomorphisme est aussi homogene
de degre 0 et on a la formule t (uv] = t v t u. Si E et F sont libres de bases
(ej) et (ej), et si w est donne dans ces bases par la matrice A, t u est
donne, dans les bases duales, par la matrice M.
Lemme 2.9. Avec les notations de 2,6 on suppose les ^ 22012 tous nuls
et sans facteurs communs. Soit J 1 'ideal engendre par les (f>i. Soit t u
(resp. l (p) le transpose de u (resp. (p). (On considere id tp comme un
homomorphisme de F dans R.) On a la suite exacte
et 1'annulateur du R-module Coker'w est egal a J.
Demonstration. Montrons d'abord 1'exactitude de la suite. II est clair
que t (f> est injectif et qu'on a t u t (f> = 0 (cela resulte, via la fonctorialite
de la dualite, de la relation (f>u — 0 vue en 2.7).
II reste a montrer 1'exactitude en F v . Soit x = £i=i x^\ G Ker t u que
Ton represente par la matrice colonne x = t (x\,... ,xr)- On a 1'egalite
matricielle *Ax = 0, et en multipliant a gauche par la matrice A (cf. 2.6)
on obtient, pour tout couple (11,12),
Fixons un indice ii € [l,r~]. Si (f>iv est nul il en est de meme de x^.
Sinon, comme on est dans 1'anneau (factoriel) R on peut decomposer (p^
en produit d'irreductibles : (p^ — Hp^ 1 avec les pm premiers distincts.
Comme les ^ sont sans facteur commun, il existe, pour m fixe, un ipi2
tel que pm ne divise pas ^2. Mais alors la relation (*) montre que p^ 1
divise x^, et en appliquant ceci pour tout m, que ^ divise x^, et on en
deduit que ;
5 On aurait pu aussi passer au corps des fractions de R et se ramener au cas de
1'algebre lineaire usuelle.