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§ 5. Un Bertini schematique 249 priori munies de leur structure de schema) sont des varietes lisses pour yeV. Dans le cas oil les dimensions de X et Y sont egales, les fibres sont en general finies et formees de points simples, voir 1'exemple de 4.b. On a aussi la variante suivante de Bertini qui se demontre comme dans le probleme VI : Theoreme 3. Soit X C P n une variete projective irreductible et lisse. Si H est un hyperplan general de P n , le schema X Pi H est une variete (projective) lisse. Dans le cas ou X est une courbe, cela montre que X n H est, en general, fini et forme de d points simples distincts (d est le degre de la courbe X}. Dans le plan, par exemple, cela signifie qu'on peut toujours trouver des droites qui ne sont pas tangentes a une courbe donnee. La notion de schema est ici indispensable pour comprendre les phenomenes puisqu'en tant que variete X n H est finie done lisse dans tous les cas, de sorte que le Bertini enonce dans le probleme VI ne donne rien.
Probleme I Recueil de problemes Le but du probleme est d'etudier les produits de varietes algebriques. On travaille sur un corps k algebriquement clos. 1. Produit d'ensembles algebriques affines a) Soient V C fc n , W C k m deux ensembles algebriques affines. Montrer que V x W est un ensemble algebrique affine de k n+m . Montrer que les projections p et q de V x W sur V et W sont des applications regulieres et preciser les fleches associees sur les anneaux. On note x (resp. y) les points de k n (resp. k m ) et k[X] (resp. k[Y]) les anneaux de poynomes k[Xi,..., Xn] (resp. k[Yi,..., Ym]). b) Montrer que la formule F(F x PV) (cf. Memento 2). Montrer que (p est un isomorphisms (pour prouver i'injectivite de
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Table des matieres vii VII Cohomolo
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Avant-propos Get ouvrage a pour bas
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Notations On designe par N (resp. Z
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Introduction 0. La geometrie algebr
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§L Quelques objets 3 (sphere), (hy
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§ 2. Quelques problemes 5 c) Un au
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§ 2. Quelques problemes 7 que Ton
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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§ 1. Ensembles algebriques affines
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§2. Ideal d'lin ensemble algebriqu
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§ 3. Irreductibilite 15 Demonstrat
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4. Le Nullstellensatz (ou theorems
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§ 4. Le Nullstellensatz (ou theore
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§ 5. Un premier pas vers Bezout 21
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§ 3. Lien afnne project if 31 Demo
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§ 3. Lien affine projectif 33 a. L
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§ 4. Ensembles algebriques project
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§ 6. Un anneau gradue associe a un
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§ 7. Appendice : anneaux gradues 3
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3. Quadriques Exercices 41 Soit k u
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0. Motivations Chapitre III Faiscea
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Remarques 1.2 § I. La notion de fa
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§2. Le faisceau structural d'un en
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§2. Le faisceau structural d'un en
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§ 3. Les varietes amnes 51 Demonst
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§ 4. Les varietes algebriques 53 C
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5. Anneaux locaux § 5. Anneaux loc
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§ 6. Faisceaux de modules 57 On pe
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§ 7. Faisceaux de modules sur une
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§ 8. Les varietes projectives 61 P
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§ 8. Les varietes projectives 63 D
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§ 8. Les varietes projectives 65 a
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§ 9. Faisceaux de modules sur les
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§ 9. Faisceaux de modules sur les
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§ 11. Exemples de morphismes 71 De
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Examples 11.6 §11. Examples de mor
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Exercices A 75 Ep ainsi : (£7, s)
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Exercices A 77 8. Images directes e
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Exercices B 79 Si J est un ideal de
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4. Anneaux locaux du projectif Exer
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§ 1. Definition topologique, lien
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§ 1. Definition topologique, lien
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§2. Dimension et nombre d'equation
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§2. Dimension et nombre d'equation
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§ 3. Morphismes et dimension 91 le
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§ 3. Morphismes et dimension 93 La
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§ 3. Morphismes et dimension 95 C
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§ 3. Morphismes et dimension 97 Co
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Exercices 99 Demonstration (de 4.5)
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4. Dimension du groupe orthogonal E
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Chapitre V Espaces tangents, points
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§L Espaces tangents 105 F(V) —>
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§ 1. Espaces tangents 107 Examples
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Demonstration. Cela resulte aussito
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§ 3. Anneaux locaux reguliers 111
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§ 4. Le cas des courbes 113 Exempl
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4.8. Tangentes a une courbe plane e
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4. Cubiques cuspidales Exerdces 117
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0. Introduction Chapitre VI Le theo
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§1. Multiplicites d'intersection 1
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§1. Multiplicites d 'intersection
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§ 2. Le theoreme de Bezout 125 a.
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§ 2. Le theoreme de Bezout 127 Pro
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1. Systemes lineaires de courbes Ex
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Exercices 133 sont les points P, Q,
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§ 0. Introduction 135 La methode p
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§ 1. Un peu d'algebre homologique
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On pose, pour 0 < p < n : § 2. La
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§ 2. La cohomologie de Cech 141 Po
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On a alors le theoreme : § 2. La c
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§ 4. La cohomologie des faisceaux
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Exercices 1. Ou 1'on retrouve une v
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6. Les deux droites disjointes Exer
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§ 1. Degre et genre d'une courbe p
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§ 2. Diviseurs sur une courbe, Rie
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Exercices 173 avec les a;(/) dans k
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4. Courbes elliptiques Exercices 17
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§ 1. Applications rationnelles 177
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§ 2. Le cas des courbes 179 £i> ,
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§ 2. Le cas des combes 181 Enfin a
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§ 3. Normalisation : la voie algeb
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§ 3. Normalisation : la voie algeb
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§ 4. Eclatements affines 187 C est
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des (x,y). b. Modification du plan
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§ 4. Eclatements affines 191 un a
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§ 4. Eclatements affines 193 Remar
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Remarques 5.4 § 5. Eclatements glo
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§ 5. Eclatements globaux 197 Cn U
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Tangente 115 Transformation quadrat
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Physique Collection « Savoirs Actu
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